（11·曲靖）在三张完全相同的卡片上分别标注：A一雨水、B大-优题课

在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 $ABC$ 和 $DEF$ 拼在一起，使点 $A$ 与点 $F$ 重合，点 $C$ 与点 $D$ 重合（如图 $1)$ ，其中 $∠ ACB = ∠ DFE = 90 °$ ， $BC = EF = 3 cm$ ， $AC = DF = 4 cm$ ，并进行如下研究活动．

活动一：将图1中的纸片 $DEF$ 沿 $AC$ 方向平移，连结 $AE$ ， $BD$ （如图 $2)$ ，当点 $F$ 与点 $C$ 重合时停止平移．

[思考]图2中的四边形 $ABDE$ 是平行四边形吗？请说明理由．

[发现]当纸片 $DEF$ 平移到某一位置时，小兵发现四边形 $ABDE$ 为矩形（如图 $3)$ ．求 $AF$ 的长．

活动二：在图3中，取 $AD$ 的中点 $O$ ，再将纸片 $DEF$ 绕点 $O$ 顺时针方向旋转 $α$ 度 $(0 ⩽ α ⩽ 90)$ ，连结 $OB$ ， $OE$ （如图 $4)$ ．

[探究]当 $EF$ 平分 $∠ AEO$ 时，探究 $OF$ 与 $BD$ 的数量关系，并说明理由．

为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点 $A$ 处测得河北岸的树 $H$ 恰好在 $A$ 的正北方向．测量方案与数据如下表：

课题	测量河流宽度
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案示意图
说明	点 $B$ ， $C$ 在点 $A$ 的正东方向	点 $B$ ， $D$ 在点 $A$ 的正东方向	点 $B$ 在点 $A$ 的正东方向，点 $C$ 在点 $A$ 的正西方向．
测量数据	$BC = 60 m$ ， $∠ ABH = 70 °$ ， $∠ ACH = 35 °$ ．	$BD = 20 m$ ， $∠ ABH = 70 °$ ， $∠ BCD = 35 °$ ．	$BC = 101 m$ ， $∠ ABH = 70 °$ ， $∠ ACH = 35 °$ ．

（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？

（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到 $0.1 m)$ ．（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70)$

小吴家准备购买一台电视机，小吴将收集到的某地区 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下：

根据上述三个统计图，请答案：

（1） $2014 ~ 2019$ 年三种品牌电视机销售总量最多的是　　品牌，月平均销售量最稳定的是　　品牌．

（2）2019年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？

（3）货比三家后，你建议小吴家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．

经过实验获得两个变量 $x (x > 0)$ ， $y (y > 0)$ 的一组对应值如下表．

$x$	1	2	3	4	5	6
$y$	6	2.9	2	1.5	1.2	1

（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．

（2）点 $A (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ 在此函数图象上．若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 有怎样的大小关系？请说明理由．

已知：如图，在 $ΔOAB$ 中， $OA = OB$ ， $⊙ O$ 与 $AB$ 相切于点 $C$ ．求证： $AC = BC$ ．小明同学的证明过程如下框：

证明：连结 $OC$ ，

$∵ OA = OB$ ，

$∴ ∠ A = ∠ B$ ，

又 $∵ OC = OC$ ，

$∴ ΔOAC ≅ ΔOBC$ ，

$∴ AC = BC$ ．

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“ $\sqrt$ ”；若错误，请写出你的证明过程．