（本小题满分10分）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果A-优题课

（本小题满分10分）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果AB : AC="AC" : BC，那么称点C为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁: S₂，如果S : S₁= S₁: S₂，，那么称直线为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组探究发现：在（1）中，过点C任作AE交AB于E，再过点D作，交 AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF是△ABC的黄金分割线．请说明理由．
（4）如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线．请你再画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边黄金分割点（保留必要的辅助线）．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：应用类问题

如图， $BD$ 是 $▱ ABCD$ 的对角线， $AE ⊥ BD$ ， $CF ⊥ BD$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ，求证： $AE = CF$ ．

如图1，已知抛物线 $y = \frac{1}{a} (x - 2) (x + a) (a > 0)$ 与 $x$ 轴从左至右交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）若抛物线过点 $T (1, - \frac{5}{4})$ ，求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点 $D$ ，使得以 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，在（1）的条件下，点 $P$ 的坐标为 $(- 1, 1)$ ，点 $Q (6, t)$ 是抛物线上的点，在 $x$ 轴上，从左至右有 $M$ 、 $N$ 两点，且 $MN = 2$ ，问 $MN$ 在 $x$ 轴上移动到何处时，四边形 $PQNM$ 的周长最小？请直接写出符合条件的点 $M$ 的坐标．

小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现： $ΔABC$ 内总存在一点 $P$ 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．

【特例】如图1，点 $P$ 为等边 $ΔABC$ 的中心，将 $ΔACP$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $ΔADE$ ，从而有 $DE = PC$ ，连接 $PD$ 得到 $PD = PA$ ，同时 $∠ APB + ∠ APD = 120 ° + 60 ° = 180 °$ ， $∠ ADP + ∠ ADE = 180 °$ ，即 $B$ 、 $P$ 、 $D$ 、 $E$ 四点共线，故 $PA + PB + PC = PD + PB + DE = BE$ ．在 $ΔABC$ 中，另取一点 $P'$ ，易知点 $P'$ 与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 $B$ 、 $P'$ 、 $D'$ 、 $E$ 四点不共线，所以 $P' A + P' B + P' C > PA + PB + PC$ ，即点 $P$ 到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2， $P$ 为 $ΔABC$ 内一点， $∠ APB = ∠ BPC = 120 °$ ，证明 $PA + PB + PC$ 的值最小；

【拓展】（2）如图3， $ΔABC$ 中， $AC = 6$ ， $BC = 8$ ， $∠ ACB = 30 °$ ，且点 $P$ 为 $ΔABC$ 内一点，求点 $P$ 到三个顶点的距离之和的最小值．

为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度 $OD$ 为18米，位于球场中线处球网的高度 $AB$ 为2.43米，一队员站在点 $O$ 处发球，排球从点 $O$ 的正上方1.8米的 $C$ 点向正前方飞出，当排球运行至离点 $O$ 的水平距离 $OE$ 为7米时，到达最高点 $G$ 建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度 $y$ （单位：米）与水平距离 $x$ （单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量 $x$ 的取值范围）．

（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点 $F$ 处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．

（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度 $h$ 的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AD$ 为 $∠ BAC$ 的平分线，以 $AB$ 上一点 $O$ 为圆心的半圆经过 $A$ 、 $D$ 两点，交 $AB$ 于 $E$ ，连接 $OC$ 交 $AD$ 于点 $F$ ．

（1）判断 $BC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $OF : FC = 2 : 3$ ， $CD = 3$ ，求 $BE$ 的长．