（本小题满分12分）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系-优题课

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点 $D$ 的坐标为 $(1, - 4)$ ．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$ 在抛物线上且满足 $∠ PCB = ∠ CBD$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2， $M$ 是直线 $BC$ 上一个动点，过点 $M$ 作 $MN ⊥ x$ 轴交抛物线于点 $N$ ， $Q$ 是直线 $AC$ 上一个动点，当 $ΔQMN$ 为等腰直角三角形时，直接写出此时点 $M$ 及其对应点 $Q$ 的坐标．

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为　　，其内切圆的半径长为　　；

（2）①如图1， $P$ 是边长为 $a$ 的正 $ΔABC$ 内任意一点，点 $O$ 为 $ΔABC$ 的中心，设点 $P$ 到 $ΔABC$ 各边距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ，连接 $AP$ ， $BP$ ， $CP$ ，由等面积法，易知 $\frac{1}{2} a (h_{1} + h_{2} + h_{3}) = S_{ΔABC} = 3 S_{ΔOAB}$ ，可得 $h_{1} + h_{2} + h_{3} =$ 　　；（结果用含 $a$ 的式子表示）

②如图2， $P$ 是边长为 $a$ 的正五边形 $ABCDE$ 内任意一点，设点 $P$ 到五边形 $ABCDE$ 各边距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ， $h_{4}$ ， $h_{5}$ ，参照①的探索过程，试用含 $a$ 的式子表示 $h_{1} + h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5}$ 的值．（参考数据： $\tan 36 ° \approx \frac{8}{11}$ ， $\tan 54 ° \approx \frac{11}{8})$

（3）①如图3，已知 $⊙ O$ 的半径为2，点 $A$ 为 $⊙ O$ 外一点， $OA = 4$ ， $AB$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ，弦 $BC / / OA$ ，连接 $AC$ ，则图中阴影部分的面积为　　；（结果保留 $π)$

②如图4，现有六边形花坛 $ABCDEF$ ，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形 $ABCDG$ ，其中点 $G$ 在 $AF$ 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 $G$ 的位置，并说明理由.

如今我国的大棚（如图 $1)$ 种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体 $A$ 处，另一端固定在离地面高2米的墙体 $B$ 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 $y$ （米 $)$ 与其离墙体 $A$ 的水平距离 $x$ （米 $)$ 之间的关系满足 $y = - \frac{1}{6} x^{2} + bx + c$ ，现测得 $A$ ， $B$ 两墙体之间的水平距离为6米．

（1）直接写出 $b$ ， $c$ 的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 $\frac{37}{24}$ 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

如图， $D$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 的切线 $DE$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $BC ⊥ DE$ 交 $AD$ 的延长线于点 $C$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $AB = BC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 为9， $\sin A = \frac{1}{3}$ ．

①求线段 $BF$ 的长；

②求线段 $BE$ 的长．

如图，一次函数 $y_{1} = kx + b$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象交于点 $C (1, 2)$ ， $D (2, n)$ ．

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）连接 $OD$ ，求 $ΔBOD$ 的面积．