已知，则的值为-优题课

如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A, P, Q$ 的平面截该正方体所得的截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。

①当 $0 < C Q < \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为四边形
②当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为等腰梯形
③当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时， $S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R = \frac{1}{3}$

④当 $\frac{3}{4} < C Q < 1$ 时， $S$ 为六边形
⑤当 $C Q = 1$ 时， $S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) 2 f (x)$ .若当 $0 \leq x \leq 1$ 时。 $f (x) = x (1 - x)$ ，则当 $- 1 \leq x \leq 0$ 时， $f (x)$ =.

若非零向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 3 | \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} |$ ，则 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 夹角的余弦值为.

若非负数变量 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{cases} x - y \geq - 1 \\ x + 2 y \leq 4 \end{cases}$ ，则 $x + y$ 的最大值为.

函数 $y = \ln (1 + \frac{1}{x}) + \sqrt{1 - x^{2}}$ 的定义域为.