如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的右交点为点A，与y轴-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的右交点为点A，与y
轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位:秒）
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形?
（3）请说明当0＜t＜4.5时，△PQF的面积总为定值；
（4）当0≤t≤4.5是否存在△PQF为等腰三角形？当t为何值时，△PQF为等腰三角形?（直接写出结果）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图甲，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}, AC = 4 cm, BC = 3 cm$ ，如果点 $P$ 由点 $B$ 出发沿 $BA$ 方向向点 $A$ 匀速运动，同时点 $Q$ 由点 $A$ 出发沿 $AC$ 方向向点 $C$ 匀速运动，它们的速度均为 $1 cm / s$ .连接 $PQ$ ，设运动时间为 $t (s) (0 < t < 4)$ ，解答下列问题:

（1）设 $△ APQ$ 的面积为 $S$ ，当 $t$ 为何值时， $S$ 取得最大值， $S$ 的最大值是多少?

（2）如图乙，连接 $PC$ ，将 $△ PQC$ 沿 $QC$ 翻折，得到四边形 $PQ P^{'} C$ ，当四边形 $PQ P^{'} C$ 为菱形时，求 $t$ 的值；

（3）当 $t$ 为何值时， $△ APQ$ 是等腰三角形?

如图，已知锐角 $△ ABC$ 的面积为 $1$ ，正方形 $DEFG$ 是 $△ ABC$ 的一个内接四边形， $DG / / BC$ ，求正方形 $DEFG$ 面积的最大值.

图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽 $AB = 1.2 cm$ ，托架斜面长 $BD = 6 cm$ ，它有 $C$ 到 $F$ 共4个挡位调节角度，相邻两个挡位间的距离为 $0.8 cm$ ，挡位 $C$ 到 $B$ 的距离为 $2.4 cm$ .将某型号手机置于托架上（图2，手机屏幕长 $AG$ 是 $15 cm$ ， $O$ 是支点且 $OB = OE = 2.5 cm$ （支架的厚度忽略不计）.求:

（1）当支架调到 $E$ 挡时，点 $G$ 离水平面的距离 $GH$ 为多少厘米；

（2）当支架从 $E$ 挡调到 $F$ 挡时，点 $D$ 离水平面的距离下降了多少厘米.

如图，开口向下的抛物线 $y = a x^{2} - 8 ax + 12 a$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，抛物线上另有一点 $C$ 在第一象限，且使 $△ OCA \sim △ OBC$ .

（1）求 $OC$ 的长及 $BC : AC$ 的值；

（2）设直线 $BC$ 与 $y$ 轴交于 $P$ 点，点 $C$ 是 $BP$ 的中点时，求直线 $BP$ 和抛物线的解析式.

如图，点 $D$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，过 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $C, AE ⊥ CD$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $AD, FD$ .

（1）求证: $∠ DAE = ∠ DAC;$

（2）求证: $DF \cdot AC = AD \cdot DC$ ；

（3）若 $sin ∠ C = \frac{1}{4}, AD = 4 \sqrt{10}$ ，求 $EF$ 的长.

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