计算：：-优题课

如图，矩形 $OABC$ 的两边在坐标轴上，点 $A$ 的坐标为 $(10, 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 过点 $B$ ， $C$ 两点，且与 $x$ 轴的一个交点为 $D (- 2, 0)$ ，点 $P$ 是线段 $CB$ 上的动点，设 $CP = t (0 < t < 10)$ ．

（1）请直接写出 $B$ 、 $C$ 两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点 $P$ 作 $PE ⊥ BC$ ，交抛物线于点 $E$ ，连接 $BE$ ，当 $t$ 为何值时， $∠ PBE = ∠ OCD$ ？

（3）点 $Q$ 是 $x$ 轴上的动点，过点 $P$ 作 $PM / / BQ$ ，交 $CQ$ 于点 $M$ ，作 $PN / / CQ$ ，交 $BQ$ 于点 $N$ ，当四边形 $PMQN$ 为正方形时，请求出 $t$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CD$ 是中线， $AC = BC$ ，一个以点 $D$ 为顶点的 $45 °$ 角绕点 $D$ 旋转，使角的两边分别与 $AC$ 、 $BC$ 的延长线相交，交点分别为点 $E$ ， $F$ ， $DF$ 与 $AC$ 交于点 $M$ ， $DE$ 与 $BC$ 交于点 $N$ ．

（1）如图1，若 $CE = CF$ ，求证： $DE = DF$ ；

（2）如图2，在 $∠ EDF$ 绕点 $D$ 旋转的过程中：

①探究三条线段 $AB$ ， $CE$ ， $CF$ 之间的数量关系，并说明理由；

②若 $CE = 4$ ， $CF = 2$ ，求 $DN$ 的长．

为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为 $1000 m^{2}$ 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为 $x (m^{2})$ ，种草所需费用 $y_{1}$ （元）与 $x (m^{2})$ 的函数关系式为 $y_{1} = \{\begin{matrix} k_{1} x (0 ⩽ x < 600) \\ k_{2} x + b (600 ⩽ x ⩽ 1000) \end{matrix}$ ，其图象如图所示：栽花所需费用 $y_{2}$ （元 $)$ 与 $x (m^{2})$ 的函数关系式为 $y_{2} = - 0.01 x^{2} - 20 x + 30000 (0 ⩽ x ⩽ 1000)$ ．

（1）请直接写出 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 和 $b$ 的值；

（2）设这块 $1000 m^{2}$ 空地的绿化总费用为 $W$ （元），请利用 $W$ 与 $x$ 的函数关系式，求出绿化总费用 $W$ 的最大值；

（3）若种草部分的面积不少于 $700 m^{2}$ ，栽花部分的面积不少于 $100 m^{2}$ ，请求出绿化总费用 $W$ 的最小值．

如图，直线 $y_{1} = ax + b$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的纵坐标为6，点 $B$ 的坐标为 $(- 3, - 2)$ ．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）求点 $C$ 的坐标，并结合图象直接写出 $y_{1} < 0$ 时 $x$ 的取值范围．

受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；

（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？