（本题10分）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC-优题课

（本题10分）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．
(1)求BC的长；
(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向点D运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D方向向点D运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似多边形的性质

如图， $⊙ O$ 的半径为1，点 $A$ 是 $⊙ O$ 的直径 $BD$ 延长线上的一点， $C$ 为 $⊙ O$ 上的一点， $AD = CD$ ， $∠ A = 30 °$ ．

（1）求证：直线 $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求 $ΔABC$ 的面积；

（3）点 $E$ 在 $\hat{BND}$ 上运动（不与 $B$ 、 $D$ 重合），过点 $C$ 作 $CE$ 的垂线，与 $EB$ 的延长线交于点 $F$ ．

①当点 $E$ 运动到与点 $C$ 关于直径 $BD$ 对称时，求 $CF$ 的长；

②当点 $E$ 运动到什么位置时， $CF$ 取到最大值，并求出此时 $CF$ 的长．

如图，一次函数 $y_{1} = kx + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于

点 $A (1, 2)$ 和 $B (- 2, a)$ ，与 $y$ 轴交于点 $M$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）在 $y$ 轴上取一点 $N$ ，当 $ΔAMN$ 的面积为3时，求点 $N$ 的坐标；

（3）将直线 $y_{1}$ 向下平移2个单位后得到直线 $y_{3}$ ，当函数值 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ 时，求 $x$ 的取值范围．

小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在 $A$ 处看到 $B$ 、 $C$ 处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在 $A$ 处测得 $B$ 在北偏西 $45 °$ 方向， $C$ 在北偏东 $30 °$ 方向，他从 $A$ 处走了20米到达 $B$ 处，又在 $B$ 处测得 $C$ 在北偏东 $60 °$ 方向．

（1）求 $∠ C$ 的度数；

（2）求两颗银杏树 $B$ 、 $C$ 之间的距离（结果保留根号）．

某服装店以每件30元的价格购进一批 $T$ 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设 $T$ 恤的销售单价提高 $x$ 元．

（1）服装店希望一个月内销售该种 $T$ 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问 $T$ 恤的销售单价应提高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种 $T$ 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？

已知平面直角坐标系中，点 $P (x_{0}$ ， $y_{0})$ 和直线 $Ax + By + C = 0$ （其中 $A$ ， $B$ 不全为 $0)$ ，则点 $P$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离 $d$ 可用公式 $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ 来计算．

例如：求点 $P (1, 2)$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离，因为直线 $y = 2 x + 1$ 可化为 $2 x - y + 1 = 0$ ，其中 $A = 2$ ， $B = - 1$ ， $C = 1$ ，所以点 $P (1, 2)$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离为： $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{| 2 \times 1 + (- 1) \times 2 + 1 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点 $M (0, 3)$ 到直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的距离；

（2）在（1）的条件下， $⊙ M$ 的半径 $r = 4$ ，判断 $⊙ M$ 与直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的位置关系，若相交，设其弦长为 $n$ ，求 $n$ 的值；若不相交，说明理由．