在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B-优题课

题文

在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、
A（4，0）、B（3，）三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

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在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点 $B$ 垂直起飞到达点 $A$ 处，测得1号楼顶部 $E$ 的俯角为 $67 °$ ，测得2号楼顶部 $F$ 的俯角为 $40 °$ ，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且 $EC$ 和 $FD$ 分别垂直地面于点 $C$ 和 $D$ ，点 $B$ 为 $CD$ 的中点，求2号楼的高度．（结果精确到 $0.1)$

（参考数据 $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\sin 67 ° \approx 0.92$ ， $\cos 67 ° \approx 0.39$ ， $\tan 67 ° \approx 2.36)$

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是线段 $BC$ 、 $AD$ 的中点，过点 $A$ 作 $BC$ 的平行线交 $BE$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $CF$ ．

（1）求证： $ΔBDE ≅ ΔFAE$ ；

（2）求证：四边形 $ADCF$ 为矩形．

先化简， $(\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 4} - x - 2) \div \frac{x + 2}{x - 2}$ ，然后从 $- 2 ⩽ x ⩽ 2$ 范围内选取一个合适的整数作为 $x$ 的值代入求值．

计算： $\sqrt{8} - 2 \sin 30 ° - | 1 - \sqrt{2} | + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - {(π - 2020)}^{0}$ ．

已知 $O$ 为直线 $MN$ 上一点， $OP ⊥ MN$ ，在等腰 $Rt Δ ABO$ 中， $∠ BAO = 90 °$ ， $AC / / OP$ 交 $OM$ 于 $C$ ， $D$ 为 $OB$ 的中点， $DE ⊥ DC$ 交 $MN$ 于 $E$ ．

（1）如图1，若点 $B$ 在 $OP$ 上，则

① $AC$ 　　 $OE$ （填“ $<$ ”，“ $=$ ”或“ $>$ ” $)$ ；

②线段 $CA$ 、 $CO$ 、 $CD$ 满足的等量关系式是　　；

（2）将图1中的等腰 $Rt Δ ABO$ 绕 $O$ 点顺时针旋转 $α (0 ° < α < 45 °)$ ，如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；

（3）将图1中的等腰 $Rt Δ ABO$ 绕 $O$ 点顺时针旋转 $α (45 ° < α < 90 °)$ ，请你在图3中画出图形，并直接写出线段 $CA$ 、 $CO$ 、 $CD$ 满足的等量关系式　　．

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