某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB="20km,CB" ="10km" ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域中（含边界），且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为
km．
（Ⅰ）设∠BAO=
(rad)，将表示成的函数关系式；
（Ⅱ）请用（Ⅰ）中的函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，离心率为
，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若
，
是椭圆上关轴对称的任意两点，设点
，连接
交椭圆于另一点
，求证：直线
与轴相交于定点
；
（Ⅲ）设
为坐标原点，在（Ⅱ）的条件下，过点的直线交椭圆于
，
两点，求
的取值范围．
已知数列
的前n项和
（
），数列
．
（Ⅰ）求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列
的前n项和为
，证明：且
时，
；
（Ⅲ）设数列
满足
，（
为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意 ，都有
？
已知函数
（Ⅰ）若
求
在
处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间
上的最小值；
（Ⅲ）若在区间
上恰有两个零点，求
的取值范围．
如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的正方形，侧面
底面，且
，
、
分别为
、
的中点．
（Ⅰ）求证：
//平面；
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（Ⅲ）在线段
上是否存在点
使得二面角
的余弦值为
?若存在，求
的长度；若不存在，说明理由．
在
中，
的对边分别为
且
成等差数列．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的范围．