（本小题满分14分）某商店经营的消费品进价每件14元，月销售-优题课

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）若 $n ＝ 19$ ，求y与x的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

如图，已知正三棱锥 $P ﹣ ABC$ 的侧面是直角三角形， $PA ＝ 6$ ，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

设 $0 ＜ α ＜ π ＜ β ＜ 2 π$ ，向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2 \cos α, \sin α)$ ， $\overset{⇀}{c} = （ \sin β, 2 \cos β ）$ ， $\overset{⇀}{d} = (\cos β, - 2 \sin β)$ ．
（1）若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，求 $α$ ；
（2）若 $| \overset{⇀}{c} + \overset{⇀}{d} | = \sqrt{3}$ ，求 $\sin β + \cos β$ 的值；
（3）若 $\tan α \tan β = 4$ ，求证: $\overset{⇀}{b} / / \overset{⇀}{c}$ ．

已知 $\cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ， $x \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ ．
（1）求 $\sin x$ 的值；
（2）求 $\cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的值．

已知函数 $f (x) = A \sin (3 x + φ) (A ＞ 0, x \in (- \infty, + \infty), 0 ＜ φ ＜ π ）$ 在x= $x = \frac{π}{12}$ 时取得最大值4．．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f (x)$ 的解析式；
（3）若 $f (\frac{2}{3} α + \frac{π}{12}) = \frac{12}{5}$ ．求 $\tan 2 α$ 的值．