如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、P的坐标分别为（0，-优题课

如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、P的坐标分别为（0，1）、
（－1，0）、（1，0）、（－1，－1）。
求经过A、B、C三点的抛物线的表达式；
以P为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A₁B₁C₁与△OAB对应线段的比为3：1，请在右图网格中画出放大后的△A₁B₁C₁；（所画△A₁B₁C₁与△ABC在点P同侧）；
经过A₁、B₁、C₁三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由。

科目数学题型解答题难度较易

知识点：二次函数在给定区间上的最值计算器—基础知识

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的图象关于 $y$ 轴对称，它们与直线 $x = t (t > 0)$ 分别相交于点 $P$ ， $Q$ ．

（1）如图，函数 $F_{1}$ 为 $y = x + 1$ ，当 $t = 2$ 时， $PQ$ 的长为　　；

（2）函数 $F_{1}$ 为 $y = \frac{3}{x}$ ，当 $PQ = 6$ 时， $t$ 的值为　　；

（3）函数 $F_{1}$ 为 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，

①当 $t = \frac{\sqrt{b}}{b}$ 时，求 $ΔOPQ$ 的面积；

②若 $c > 0$ ，函数 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的图象与 $x$ 轴正半轴分别交于点 $A (5, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，当 $c ⩽ x ⩽ c + 1$ 时，设函数 $F_{1}$ 的最大值和函数 $F_{2}$ 的最小值的差为 $h$ ，求 $h$ 关于 $c$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $c$ 的取值范围．

如图1， $ΔABC$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $AB$ ， $BC$ ， $AC$ 上， $BE = CE$ ，点 $G$ 在线段 $CD$ 上， $CG = CA$ ， $GF = DE$ ， $∠ AFG = ∠ CDE$ ．

（1）填空：与 $∠ CAG$ 相等的角是　　；

（2）用等式表示线段 $AD$ 与 $BD$ 的数量关系，并证明；

（3）若 $∠ BAC = 90 °$ ， $∠ ABC = 2 ∠ ACD$ （如图 $2)$ ，求 $\frac{AC}{AB}$ 的值．

如图， $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = 6 cm$ ， $BC = 8 cm$ ，点 $D$ 从点 $B$ 出发，沿边 $BA \to AC$ 以 $2 cm / s$ 的速度向终点 $C$ 运动，过点 $D$ 作 $DE / / BC$ ，交边 $AC$ （或 $AB)$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的运动时间为 $t (s)$ ， $ΔCDE$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ．

（1）当点 $D$ 与点 $A$ 重合时，求 $t$ 的值；

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $t$ 的取值范围．

甲、乙两个探测气球分别从海拔 $5 m$ 和 $15 m$ 处同时出发，匀速上升 $60 \min$ ．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔 $y$ （单位： $m)$ 与气球上升时间 $x$ （单位： $\min)$ 的函数图象．

（1）求这两个气球在上升过程中 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）当这两个气球的海拔高度相差 $15 m$ 时，求上升的时间．

四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AD = CD$ ．

（1）如图1，求证 $∠ ABC = 2 ∠ ACD$ ；

（2）过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $BC$ 延长线于点 $P$ （如图 $2)$ ．若 $\tan ∠ CAB = \frac{5}{12}$ ， $BC = 1$ ，求 $PD$ 的长．