计算：-优题课

先化简，再求值： $x (x + 1) + (2 + x) (2 - x)$ ，其中 $x = \sqrt{6} - 4$ ．

如图1，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A$ 和点 $B$ 的坐标分别为 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 6)$ ，将 $Rt Δ AOB$ 绕点 $O$ 按顺时针方向分别旋转 $90 °$ ， $180 °$ 得到 $Rt$ △ $A_{1} OC$ ， $Rt Δ EOF$ ．抛物线 $C_{1}$ 经过点 $C$ ， $A$ ， $B$ ；抛物线 $C_{2}$ 经过点 $C$ ， $E$ ， $F$ ．

（1）点 $C$ 的坐标为　　，点 $E$ 的坐标为　　；抛物线 $C_{1}$ 的解析式为　　．抛物线 $C_{2}$ 的解析式为　　；

（2）如果点 $P (x, y)$ 是直线 $BC$ 上方抛物线 $C_{1}$ 上的一个动点．

①若 $∠ PCA = ∠ ABO$ 时，求 $P$ 点的坐标；

②如图2，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $BC$ 于点 $M$ ，交抛物线 $C_{2}$ 于点 $N$ ，记 $h = PM + NM + \sqrt{2} BM$ ，求 $h$ 与 $x$ 的函数关系式，当 $- 5 ⩽ x ⩽ - 2$ 时，求 $h$ 的取值范围．

“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理 $A$ ， $B$ 两种型号的净水器，每台 $A$ 型净水器比每台 $B$ 型净水器进价多200元，用5万元购进 $A$ 型净水器与用4.5万元购进 $B$ 型净水器的数量相等．

（1）求每台 $A$ 型、 $B$ 型净水器的进价各是多少元？

（2）槐荫公司计划购进 $A$ ， $B$ 两种型号的净水器共50台进行试销，其中 $A$ 型净水器为 $x$ 台，购买资金不超过9.8万元．试销时 $A$ 型净水器每台售价2500元， $B$ 型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售 $A$ 型净水器的利润中按每台捐献 $a (70 < a < 80)$ 元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为 $W$ ，求 $W$ 的最大值．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - 3) (x - 2) = p (p + 1)$ ．

（1）试证明：无论 $p$ 取何值此方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 3 p^{2} + 1$ ，求 $p$ 的值．

如图， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①作 $∠ BAC$ 的平分线 $AM$ 交 $BC$ 于点 $D$ ；

②作边 $AB$ 的垂直平分线 $EF$ ， $EF$ 与 $AM$ 相交于点 $P$ ；

③连接 $PB$ ， $PC$ ．

请你观察图形解答下列问题：

（1）线段 $PA$ ， $PB$ ， $PC$ 之间的数量关系是　　；

（2）若 $∠ ABC = 70 °$ ，求 $∠ BPC$ 的度数．