如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.-优题课

如图 1 所示，在四边形 $ABCD$ 中，点 $O$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $AD$ 的中点，连接 $OE$ ， $EF$ ， $FG$ ， $GO$ ， $GE$ ．

（1）证明：四边形 $OEFG$ 是平行四边形；

（2）将 $ΔOGE$ 绕点 $O$ 顺时针旋转得到 $ΔOMN$ ，如图 2 所示，连接 $GM$ ， $EN$ ．

①若 $OE = \sqrt{3}$ ， $OG = 1$ ，求 $\frac{EN}{GM}$ 的值；

②试在四边形 $ABCD$ 中添加一个条件，使 $GM$ ， $EN$ 的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）

某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯 $AB$ 长为 $10 m$ ，坡角 $∠ ABD$ 为 $30 °$ ；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 $∠ ACB$ 为 $15 °$ ，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 $AC$ 的长度，（结果精确到0． $m$ ，温馨提示： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27)$

某公司计划购买 $A$ ， $B$ 两种型号的机器人搬运材料．已知 $A$ 型机器人比 $B$ 型机器人每小时多搬运 $30 kg$ 材料，且 $A$ 型机器人搬运 $1000 kg$ 材料所用的时间与 $B$ 型机器人搬运 $800 kg$ 材料所用的时间相同．

（1）求 $A$ ， $B$ 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；

（2）该公司计划采购 $A$ ， $B$ 两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于 $2800 kg$ ，则至少购进 $A$ 型机器人多少台？

某校为选拔一名选手参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（因排版原因统计图不完整）．下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况：

项目

选手

服装

普通话

主题

演讲技巧

李明

85

70

80

85

张华

90

75

80

结合以上信息，回答下列问题：

（1）求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小；

（2）求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；

（3）根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，并说明理由．

如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，过点 $B$ 作 $BD ⊥ CD$ ，垂足为点 $D$ ，连接 $BC$ ． $BC$ 平分 $∠ ABD$ ．

求证： $CD$ 为 $⊙ O$ 的切线．