（本题6分）如图所示，已知线段,请作出一个等腰△ABC，使底-优题课

为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保健活动．活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力．两次相关数据记录如下：

活动前被测查学生视力数据：

4.0 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6

4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1

活动后被测查学生视力数据：

4.0 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8

4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1 5.1

活动后被测查学生视力频数分布表

分组	频数
$4.0 ⩽ x < 4.2$	1
$4.2 ⩽ x < 4.4$	2
$4.4 ⩽ x < 4.6$	$b$
$4.6 ⩽ x < 4.8$	7
$4.8 ⩽ x < 5.0$	12
$5.0 ⩽ x < 5.2$	4

根据以上信息回答下列问题：

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是　　，活动后被测查学生视力样本数据的众数是　　；

（2）若视力在4.8及以上为达标，估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有多少？

（3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保健活动的效果．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ．

（1）若 $∠ C = 42 °$ ，求 $∠ BAD$ 的度数；

（2）若点 $E$ 在边 $AB$ 上， $EF / / AC$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ．求证： $AE = FE$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

（1）连结 $BD$ ，点 $M$ 是线段 $BD$ 上一动点（点 $M$ 不与端点 $B$ ， $D$ 重合），过点 $M$ 作 $MN ⊥ BD$ ，交抛物线于点 $N$ （点 $N$ 在对称轴的右侧），过点 $N$ 作 $NH ⊥ x$ 轴，垂足为 $H$ ，交 $BD$ 于点 $F$ ，点 $P$ 是线段 $OC$ 上一动点，当 $MN$ 取得最大值时，求 $HF + FP + \frac{1}{3} PC$ 的最小值；

（2）在（1）中，当 $MN$ 取得最大值， $HF + FP + \frac{1}{3} PC$ 取得最小值时，把点 $P$ 向上平移 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 个单位得到点 $Q$ ，连结 $AQ$ ，把 $ΔAOQ$ 绕点 $O$ 顺时针旋转一定的角度 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，得到△ $A' OQ'$ ，其中边 $A' Q'$ 交坐标轴于点 $G$ ．在旋转过程中，是否存在一点 $G$ ，使得 $∠ Q^{'} = ∠ Q^{'} OG$ ？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q'$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $BC$ 上，连接 $AE$ ， $EM ⊥ AE$ ，垂足为 $E$ ，交 $CD$ 于点 $M$ ， $AF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ， $BH ⊥ AE$ ，垂足为 $H$ ，交 $AF$ 于点 $N$ ，点 $P$ 是 $AD$ 上一点，连接 $CP$ ．

（1）若 $DP = 2 AP = 4$ ， $CP = \sqrt{17}$ ， $CD = 5$ ，求 $ΔACD$ 的面积．

（2）若 $AE = BN$ ， $AN = CE$ ，求证： $AD = \sqrt{2} CM + 2 CE$ ．

某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．

（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？

（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有 $40 %$ 和 $20 %$ 参加了此次活动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 $2 a %$ ，每户物管费将会减少 $\frac{3}{10} a %$ ；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 $6 a %$ ，每户物管费将会减少 $\frac{1}{4} a %$ ．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 $\frac{5}{18} a %$ ，求 $a$ 的值．