计算：先化简，再求值：，其中-优题课

如图，学校教学楼上悬挂一块长为 $3 m$ 的标语牌，即 $CD = 3 m$ ．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点 $D$ 到地面的距离．测角仪支架高 $AE = BF = 1.2 m$ ，小明在 $E$ 处测得标语牌底部点 $D$ 的仰角为 $31 °$ ，小红在 $F$ 处测得标语牌顶部点 $C$ 的仰角为 $45 °$ ， $AB = 5 m$ ，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点 $D$ 到地面的距离 $DH$ 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $H$ 在同一平面内）

（参考数据： $\tan 31 ° \approx 0.60$ ， $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86)$

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CA = CB$ ，点 $O$ 在 $ΔABC$ 的内部， $⊙ O$ 经过 $B$ ， $C$ 两点，交 $AB$ 于点 $D$ ，连接 $CO$ 并延长交 $AB$ 于点 $G$ ，以 $GD$ ， $GC$ 为邻边作 $▱ GDEC$ ．

（1）判断 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

（2）若点 $B$ 是 $\hat{DBC}$ 的中点， $⊙ O$ 的半径为2，求 $\hat{BC}$ 的长．

为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉 $2 m^{2}$ ，乙种花卉 $3 m^{2}$ ，共需430元；种植甲种花卉 $1 m^{2}$ ，乙种花卉 $2 m^{2}$ ，共需260元．

（1）求：该社区种植甲种花卉 $1 m^{2}$ 和种植乙种花卉 $1 m^{2}$ 各需多少元？

（2）该社区准备种植两种花卉共 $75 m^{2}$ 且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？

为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．

学生选修课程统计表

课程	人数	所占百分比
声乐	14	$b %$
舞蹈	8	$16 %$
书法	16	$32 %$
摄影	$a$	$24 %$
合计	$m$	$100 %$

根据以上信息，解答下列问题：

（1） $m =$ 　　， $b =$ 　　．

（2）求出 $a$ 的值并补全条形统计图．

（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．

（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．

已知：在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为边作 $ΔAEB$ 与 $ΔAFC$ ．

（1）如图1， $ΔAEB$ 与 $ΔAFC$ 分别是以 $AB$ ， $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，连接 $EF$ ．以 $EF$ 为直角边构造 $Rt Δ EFG$ ，且 $EF = FG$ ，连接 $BG$ ， $CG$ ， $EC$ ．

求证：① $ΔAEF ≅ ΔCGF$ ．

②四边形 $BGCE$ 是平行四边形．

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2，在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为斜边作 $Rt Δ AEB$ 与 $Rt Δ AFC$ ，并使 $∠ FAC = ∠ EAB = 30 °$ ，取 $BC$ 的中点 $D$ ，连接 $DE$ ， $EF$ 后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出 $\frac{ED}{EF}$ 的值及 $∠ DEF$ 的度数．

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3，在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为底边作等腰三角形 $AEB$ 和等腰三角形 $AFC$ ，并使 $∠ CAF + ∠ EAB = 90 °$ ，取 $BC$ 的中点 $D$ ，连接 $DE$ ， $EF$ 后发现，当给定 $∠ EAB = α$ 时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若 $AE = m$ ， $AB = n$ ，请你帮助小颖用含 $m$ ， $n$ 的代数式直接写出 $\frac{ED}{EF}$ 的值，并用含 $α$ 的代数式直接表示 $∠ DEF$ 的度数．