计算（每小题4分，共8分）：（1）．（2）·tan30°．-优题课

(回顾）

如图1， $ΔABC$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $AB = 3$ ， $BC = 4$ ，则 $ΔABC$ 的面积等于　　．

（探究）

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 $30 °$ 的角，较短的直角边长为 $a$ ；另一个含有 $45 °$ 的角，直角边长为 $b$ ，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形 $ABCD$ （如图 $3)$ ，用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 $\sin 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 $EFGH$ （如图 $4)$ ，也推出 $\sin 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ，请你写出小明或小丽推出 $\sin 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 的具体说理过程．

（应用）

在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $∠ D = 75 °$ ， $BC = 6$ ， $CD = 5$ ， $AD = 10$ （如图5）

（1）点 $E$ 在 $AD$ 上，设 $t = BE + CE$ ，求 $t^{2}$ 的最小值；

（2）点 $F$ 在 $AB$ 上，将 $ΔBCF$ 沿 $CF$ 翻折，点 $B$ 落在 $AD$ 上的点 $G$ 处，点 $G$ 是 $AD$ 的中点吗？说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OABC$ 的边 $OA$ 、 $OC$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上，点 $B$ 坐标为 $(4$ ， $t) (t > 0)$ ，二次函数 $y = x^{2} + bx (b < 0)$ 的图象经过点 $B$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）当 $t = 12$ 时，顶点 $D$ 到 $x$ 轴的距离等于　　；

（2）点 $E$ 是二次函数 $y = x^{2} + bx (b < 0)$ 的图象与 $x$ 轴的一个公共点（点 $E$ 与点 $O$ 不重合），求 $OE \cdot EA$ 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形 $OABC$ 的对角线 $OB$ 、 $AC$ 交于点 $F$ ，直线 $l$ 平行于 $x$ 轴，交二次函数 $y = x^{2} + bx (b < 0)$ 的图象于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $DM$ 、 $DN$ ，当 $ΔDMN ≅ ΔFOC$ 时，求 $t$ 的值．

如图1，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (1, 3)$ ， $B (m, 1)$ ，与 $x$ 轴交于点 $D$ ，直线 $OA$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象的另一支交于点 $C$ ，过点 $B$ 作直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，点 $E$ 是点 $D$ 关于直线 $l$ 的对称点．

（1） $k =$ 　　；

（2）判断点 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 是否在同一条直线上，并说明理由；

（3）如图2，已知点 $F$ 在 $x$ 轴正半轴上， $OF = \frac{3}{2}$ ，点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象位于第一象限部分上的点（点 $P$ 在点 $A$ 的上方）， $∠ ABP = ∠ EBF$ ，则点 $P$ 的坐标为 $($ 　　，　　 $)$ ．

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $AB = 3 cm$ ， $BC = 4 cm$ ．点 $D$ 在 $AC$ 上， $AD = 1 cm$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 匀速运动；点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿 $C \to B \to A \to C$ 的路径匀速运动．两点同时出发，在 $B$ 点处首次相遇后，点 $P$ 的运动速度每秒提高了 $2 cm$ ，并沿 $B \to C \to A$ 的路径匀速运动；点 $Q$ 保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在 $D$ 点处再次相遇后停止运动，设点 $P$ 原来的速度为 $xcm / s$ ．

（1）点 $Q$ 的速度为　　 $cm / s$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

（2）求点 $P$ 原来的速度．

如图，小明在教学楼 $A$ 处分别观测对面实验楼 $CD$ 底部的俯角为 $45 °$ ，顶部的仰角为 $37 °$ ，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度 $AB$ 为 $15 m$ ，求实验楼的垂直高度即 $CD$ 长（精确到 $1 m)$

参考值： $\sin 37 ° = 0.60$ ， $\cos 37 ° = 0.80$ ， $\tan 37 ° = 0.75$ ．