某课题小组为了解某品牌手机的销售情况，对某专卖店该品牌手机在-优题课

某课题小组为了解某品牌手机的销售情况，对某专卖店该品牌手机在今年1~4月的销售
做了统计，并绘制成如下两幅统计图（如图）。

（1）该专卖店1~4月共销售这种品牌的手机_________台；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，“二月”所在的扇形的圆心角的度数是_________；
（4）在今年1~4月份中，该专卖店售出该品牌手机的数量的中位数是_________台。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：统计量的选择

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ ．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求 $k$ 的取值范围．

数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》 $)$

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明： $S_{矩形 NFGD} = S_{ΔADC} - (S_{ΔANF} + S_{ΔFGC})$ ， $S_{矩形 EBMF} = S_{ΔABC} - ($ 　　 $+$ 　　 $)$ ．

易知， $S_{ΔADC} = S_{ΔABC}$ ，　　 $=$ 　　，　　 $=$ 　　．

可得 $S_{矩形 NFGD} = S_{矩形 EBMF}$ ．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ A = 36 °$ ， $BD$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$ ．

求证： $AD = BC$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_{2}$ ， $y_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $y_{1} \neq y_{2}$ ，若 $P$ ， $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"，如图为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"示意图．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，

①若点 $B$ 的坐标为 $(3, 1)$ ，求点 $A$ ， $B$ 的"相关矩形"的面积；

②点 $C$ 在直线 $x = 3$ 上，若点 $A$ ， $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $AC$ 的表达式；

（2） $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 的坐标为 $(m, 3)$ ，若在 $⊙ O$ 上存在一点 $N$ ，使得点 $M$ ， $N$ 的"相关矩形"为正方形，求 $m$ 的取值范围．

在等边 $ΔABC$ 中，

（1）如图1， $P$ ， $Q$ 是 $BC$ 边上的两点， $AP = AQ$ ， $∠ BAP = 20 °$ ，求 $∠ AQB$ 的度数；

（2）点 $P$ ， $Q$ 是 $BC$ 边上的两个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧，且 $AP = AQ$ ，点 $Q$ 关于直线 $AC$ 的对称点为 $M$ ，连接 $AM$ ， $PM$ ．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，始终有 $PA = PM$ ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明 $PA = PM$ ，只需证 $ΔAPM$ 是等边三角形；

想法2：在 $BA$ 上取一点 $N$ ，使得 $BN = BP$ ，要证明 $PA = PM$ ，只需证 $ΔANP ≅ ΔPCM$ ；

想法3：将线段 $BP$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $BK$ ，要证 $PA = PM$ ，只需证 $PA = CK$ ， $PM = CK \dots$

请你参考上面的想法，帮助小茹证明 $PA = PM$ （一种方法即可）．