(12分)如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与-优题课

(12分)如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．

（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；

（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；

（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．

数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含 $45 °$ 的三角板的斜边与含 $30 °$ 的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点 $B$ ， $C$ ， $E$ 在同一直线上，若 $BC = 2$ ，求 $AF$ 的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

如图，矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为 $BC$ 上一点， $F$ 为 $DE$ 的中点，且 $∠ BFC = 90 °$ ．

（1）当 $E$ 为 $BC$ 中点时，求证： $ΔBCF ≅ ΔDEC$ ；

（2）当 $BE = 2 EC$ 时，求 $\frac{CD}{BC}$ 的值；

（3）设 $CE = 1$ ， $BE = n$ ，作点 $C$ 关于 $DE$ 的对称点 $C'$ ，连接 $FC'$ ， $AF$ ，若点 $C'$ 到 $AF$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ，求 $n$ 的值．

如图1，地面 $BD$ 上两根等长立柱 $AB$ ， $CD$ 之间悬挂一根近似成抛物线 $y = \frac{1}{10} x^{2} - \frac{4}{5} x + 3$ 的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离 $AB$ 为3米的位置处用一根立柱 $MN$ 撑起绳子（如图 $2)$ ，使左边抛物线 $F_{1}$ 的最低点距 $MN$ 为1米，离地面1.8米，求 $MN$ 的长；

（3）将立柱 $MN$ 的长度提升为3米，通过调整 $MN$ 的位置，使抛物线 $F_{2}$ 对应函数的二次项系数始终为 $\frac{1}{4}$ ，设 $MN$ 离 $AB$ 的距离为 $m$ ，抛物线 $F_{2}$ 的顶点离地面距离为 $k$ ，当 $2 ⩽ k ⩽ 2.5$ 时，求 $m$ 的取值范围．

如图， $AB$ 是以 $BC$ 为直径的半圆 $O$ 的切线， $D$ 为半圆上一点， $AD = AB$ ， $AD$ ， $BC$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）求证： $AD$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）连接 $CD$ ，求证： $∠ A = 2 ∠ CDE$ ；

（3）若 $∠ CDE = 27 °$ ， $OB = 2$ ，求 $\hat{BD}$ 的长．