（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、-优题课

（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、P的坐标分别为（0，1）、（－1，0）、（1，0）、（－1，－1）。

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的表达式；
（2）以P为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A₁B₁C₁
与△OAB对应线段的比为3：1，请在右图网格中画出放大
后的△A₁B₁C₁；（所画△A₁B₁C₁与△ABC在点P同侧）；
（3）经过A₁、B₁、C₁三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平
移得到？请说明理由。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图，在 $ΔABC$ 中， $AD$ 是 $BC$ 边上的中线， $E$ 是 $AD$ 的中点，过点 $A$ 作 $BC$ 的平行线交 $BE$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $CF$ ．

（1）求证： $AF = DC$ ；

（2）若 $AC ⊥ AB$ ，试判断四边形 $ADCF$ 的形状，并证明你的结论．

如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 $BC$ 是10米，坡面 $AC$ 的倾斜角 $∠ CAB = 45 °$ ，在距 $A$ 点10米处有一建筑物 $HQ$ ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 $DC$ 的倾斜角 $∠ BDC = 30 °$ ，若新坡面下 $D$ 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： $\sqrt{2} = 1.414$ ， $\sqrt{3} = 1.732)$

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx - a - b (a < 0$ ， $a$ 、 $b$ 为常数）与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $C$ 两点，与 $y$ 轴交于 $B$ 点，直线 $AB$ 的函数关系式为 $y = \frac{8}{9} x + \frac{16}{3}$ ．

（1）求该抛物线的函数关系式与 $C$ 点坐标；

（2）已知点 $M (m, 0)$ 是线段 $OA$ 上的一个动点，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 分别与直线 $AB$ 和抛物线交于 $D$ 、 $E$ 两点，当 $m$ 为何值时， $ΔBDE$ 恰好是以 $DE$ 为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当 $ΔBDE$ 恰好是以 $DE$ 为底边的等腰三角形时，动点 $M$ 相应位置记为点 $M'$ ，将 $OM'$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转得到 $ON$ （旋转角在 $0 °$ 到 $90 °$ 之间）；

$i$ ．探究：线段 $OB$ 上是否存在定点 $P (P$ 不与 $O$ 、 $B$ 重合），无论 $ON$ 如何旋转， $\frac{NP}{NB}$ 始终保持不变．若存在，试求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由；

$ii$ ．试求出此旋转过程中， $(NA + \frac{3}{4} NB)$ 的最小值．

边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形 $ABCD$ 中， $P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点（点 $P$ 与 $A$ 、 $C$ 不重合），连接 $BP$ ，将 $BP$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $BQ$ ，连接 $QP$ ， $QP$ 与 $BC$ 交于点 $E$ ， $QP$ 延长线与 $AD$ （或 $AD$ 延长线）交于点 $F$ ．

（1）连接 $CQ$ ，证明： $CQ = AP$ ；

（2）设 $AP = x$ ， $CE = y$ ，试写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并求当 $x$ 为何值时， $CE = \frac{3}{8} BC$ ；

（3）猜想 $PF$ 与 $EQ$ 的数量关系，并证明你的结论．

为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车” $)$ 公益活动登陆我市中心城区．某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括 $A$ 、 $B$ 两种不同款型，请回答下列问题：

问题1：单价

该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放 $A$ 、 $B$ 两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中 $B$ 型车的成本单价比 $A$ 型车高10元， $A$ 、 $B$ 两型自行车的单价各是多少？

问题2：投放方式

该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放 $a$ 辆“小黄车”，乙街区每1000人投放 $\frac{8 a + 240}{a}$ 辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求 $a$ 的值．