结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示1和4的两点之-优题课

结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

数轴上表示1和4的两点之间的距离是_________；表示－3和2的两点之间的距离是_________；表示－5和－4的两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于_____________．
如果表示数和－2的两点之间的距离是3，那么=__________．
若数轴上表示数的点位于－4与2之间，求的值；
当______时，的值最小，最小值是____________

科目数学题型解答题难度较易

知识点：有理数无理数的概念与运算

计算： $\sqrt[3]{- 8} + | \sqrt{3} - 1 | - 2 \sin 60 ° + {(\frac{1}{4})}^{0}$ ．

如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A$ ，点 $C$ ，且交 $x$ 轴于另一点 $B$ ．

（1）直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标及拋物线的解析式；

（2）在直线 $AC$ 上方的抛物线上有一点 $M$ ，求四边形 $ABCM$ 面积的最大值及此时点 $M$ 的坐标；

（3）将线段 $OA$ 绕 $x$ 轴上的动点 $P (m, 0)$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $O' A'$ ，若线段 $O' A'$ 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求 $m$ 的取值范围．

在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 在边 $BC$ 上， $DE ⊥ DA$ 且 $DE = DA$ ， $AE$ 交边 $BC$ 于点 $F$ ，连接 $CE$ ．

（1）特例发现：如图1，当 $AD = AF$ 时，

①求证： $BD = CF$ ；

②推断： $∠ ACE =$ 　　 $°$ ；

（2）探究证明：如图2，当 $AD \neq AF$ 时，请探究 $∠ ACE$ 的度数是否为定值，并说明理由；

（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当 $\frac{EF}{AF} = \frac{1}{3}$ 时，过点 $D$ 作 $AE$ 的垂线，交 $AE$ 于点 $P$ ，交 $AC$ 于点 $K$ ，若 $CK = \frac{16}{3}$ ，求 $DF$ 的长．

受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．"一方有难，八方支援"某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元 $/$ 千克的价格出售．设经销商购进甲种水果 $x$ 千克，付款 $y$ 元， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图所示．

（1）直接写出当 $0 ⩽ x ⩽ 50$ 和 $x > 50$ 时， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额 $w$ （元 $)$ 最少？

（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元 $/$ 千克和36元 $/$ 千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共 $a$ 千克，且销售完 $a$ 千克水果获得的利润不少于1650元，求 $a$ 的最小值．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $E$ ， $C$ 是 $⊙ O$ 上两点，且 $\hat{EC} = \hat{BC}$ ，连接 $AE$ ， $AC$ ．过点 $C$ 作 $CD ⊥ AE$ 交 $AE$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）判定直线 $CD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $AB = 4$ ， $CD = \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．