，7分）计算:-优题课

我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：

例：将 $0 . \dot{7}$ 化为分数形式

由于 $0 . \dot{7} = 0.777 \dots$ ，设 $x = 0.777 \dots$ ①

则 $10 x = 7.777 \dots$ ②

② $-$ ①得 $9 x = 7$ ，解得 $x = \frac{7}{9}$ ，于是得 $0 . \dot{7} = \frac{7}{9}$ ．

同理可得 $0 . \dot{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ， $1 . \dot{4} = 1 + 0 . \dot{4} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$

根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）

（基础训练）

（1） $0 . \dot{5} =$ 　　， $5 . \dot{8} =$ 　　；

（2）将 $0 . \dot{2} \dot{3}$ 化为分数形式，写出推导过程；

（能力提升）

（3） $0 . \dot{3} 1 \dot{5} =$ 　　， $2.0 \dot{1} \dot{8} =$ 　　；

（注 $: 0 . \dot{3} 1 \dot{5} = 0.315315 \dots$ ， $2.0 \dot{1} \dot{8} = 2.01818 \dots)$

（探索发现）

（4）①试比较 $0 . \dot{9}$ 与1的大小： $0 . \dot{9}$ 　　1（填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ” $)$

②若已知 $0 . \dot{2} 8571 \dot{4} = \frac{2}{7}$ ，则 $3 . \dot{7} 1428 \dot{5} =$ 　　．

（注 $: 0 . \dot{2} 8571 \dot{4} = 0.285714285714 \dots)$

为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第 $x$ 天（ $1 ⩽ x ⩽ 15$ ，且 $x$ 为整数）每件产品的成本是 $p$ 元， $p$ 与 $x$ 之间符合一次函数关系，部分数据如表：

天数 $(x)$	1	3	6	10
每件成本 $p$ （元）	7.5	8.5	10	12

任务完成后，统计发现工人李师傅第 $x$ 天生产的产品件数 $y$ （件）与 $x$ （天）满足如下关系： $y = \{\begin{matrix} 2 x + 20 (1 ⩽ x < 10, 且 x 为整数) \\ 40 (10 ⩽ x ⩽ 15, 且 x 为整数) \end{matrix}$

设李师傅第 $x$ 天创造的产品利润为 $W$ 元．

（1）直接写出 $p$ 与 $x$ ， $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并注明自变量 $x$ 的取值范围：

（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？

（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？

随州市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花 $- -$ 兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔 $AB$ 和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 $DE$ 和最长的斜拉索 $AC$ ）均在同一水平面内， $BC$ 在水平桥面上．已知 $∠ ABC = ∠ DEB = 45 °$ ， $∠ ACB = 30 °$ ， $BE = 6$ 米， $AB = 5 BD$ ．

（1）求最短的斜拉索 $DE$ 的长；

（2）求最长的斜拉索 $AC$ 的长．

为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，已知成绩 $x$ （单位：分）均满足“ $50 ⩽ x < 100$ ”．根据图中信息回答下列问题：

（1）图中 $a$ 的值为　　；

（2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩 $x$ 在“ $70 ⩽ x < 80$ ”所对应扇形的圆心角度数为　　度；

（3）此次比赛共有300名学生参加，若将“ $x ⩾ 80$ ”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀“的学生大约有　　人：

（4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“ $50 ⩽ x < 60$ ”和“ $90 ⩽ x < 100$ ”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 3) x + k^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）若 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - 1$ ，求 $k$ 的值．