先化简，再求值：，其中，-优题课

如图，直线 $l_{1} : y = x + 3$ 与过点 $A (3, 0)$ 的直线 $l_{2}$ 交于点 $C (1, m)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ．

（1）求直线 $l_{2}$ 的解析式；

（2）点 $M$ 在直线 $l_{1}$ 上， $MN / / y$ 轴，交直线 $l_{2}$ 于点 $N$ ，若 $MN = AB$ ，求点 $M$ 的坐标．

（1）如图①，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 上， $AD = AE$ ， $∠ B = ∠ C$ ．求证： $AB = AC$ ．

（2）如图②， $A$ 为 $⊙ O$ 上一点，按以下步骤作图：

①连接 $OA$ ；

②以点 $A$ 为圆心， $AO$ 长为半径作弧，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ；

③在射线 $OB$ 上截取 $BC = OA$ ；

④连接 $AC$ ．

若 $AC = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

计算：

（1） ${(2 m + 3 n)}^{2} - (2 m + n) (2 m - n)$ ；

（2） $\frac{x - y}{x} \div (x + \frac{y^{2} - 2 xy}{x})$ ．

如图①，要在一条笔直的路边 $l$ 上建一个燃气站，向 $l$ 同侧的 $A$ 、 $B$ 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，线段 $A^{'} B$ 与直线 $l$ 的交点 $C$ 的位置即为所求，即在点 $C$ 处建燃气站，所得路线 $ACB$ 是最短的．

为了证明点 $C$ 的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点 $C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ 、 $B C^{'}$ ，证明 $AC + CB < AC' + C^{'} B$ ．请完成这个证明．

（2）如果在 $A$ 、 $B$ 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

如图，在 $ΔABC$ 和△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $D$ 、 $D^{'}$ 分别是 $AB$ 、 $A^{'} B^{'}$ 上一点， $\frac{AD}{AB} = \frac{A' D'}{A' B'}$ ．

（1）当 $\frac{CD}{C' D'} = \frac{AC}{A' C'} = \frac{AB}{A' B'}$ 时，求证 $ΔABC ∽$ △ $A^{'} B^{'} C^{'}$ ．

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当 $\frac{CD}{C' D'} = \frac{AC}{A' C'} = \frac{BC}{B' C'}$ 时，判断 $ΔABC$ 与△ $A^{'} B^{'} C'$ 是否相似，并说明理由．