为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡-优题课

为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益（元）会相应降低且与之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益与政府补贴款额之间的函数关系式；
要使该商场销售彩电的总收益（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

如图，在△ABC中 $（ A B ＜ B C ）$ ，过点C作 $C D ∥ A B$ ，在CD上截取 $C D ＝ C B$ ，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．

（1）求证： $△ A B C ≌ △ E C D$ ；

（2）若 $∠ A ＝ 90 °$ ， $A B ＝ 3$ ， $B D ＝ 2 \sqrt{5}$ ，求△BCD的面积．

北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多 $20$ 元，购买甲、乙两种型号各 $10$ 个共需 $1760$ 元．

（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？

（2）某团队计划用不超过 $4500$ 元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共 $50$ 个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？

某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；

（2）若全校共有学生 $3600$ 人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；

（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．

先化简，再求值． $(1 - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a ＝ ﹣ 3$ ．

如图，平行四边形ABCD中， $D B ＝ 2 \sqrt{3}$ ， $A B ＝ 4 ， A D ＝ 2 ，$ 动点E、F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．

（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 $\frac{2}{3}$ 秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；

（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 $\sqrt{3}$ 个单位每秒，运动时间为x秒，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

（3）如图3，H在线段AB上且 $A H = \frac{1}{3} H B$ ，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使 $E M ＝ H M$ ，并说明理由．

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