如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°-优题课

如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ． $E$ ， $F$ 是 $AC$ 上的两点，并且 $AE = CF$ ，连接 $DE$ ， $BF$ ．

（1）求证： $ΔDOE ≅ ΔBOF$ ；

（2）若 $BD = EF$ ，连接 $EB$ ， $DF$ ，判断四边形 $EBFD$ 的形状，并说明理由．

现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整） $:$

步数	频数	频率
$0 ⩽ x < 4000$	8	$a$
$4000 ⩽ x < 8000$	15	0.3
$8000 ⩽ x < 12000$	12	$b$
$12000 ⩽ x < 16000$	$c$	0.2
$16000 ⩽ x < 20000$	3	0.06
$20000 ⩽ x < 24000$	$d$	0.04

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）写出 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 的值并补全频数分布直方图；

（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？

（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．

某周日上午 $8 : 00$ 小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动． $11 : 00$ 时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在 $12 : 00$ 前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米 $/$ 小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家 $x$ （小时）后，到达离家 $y$ （千米）的地方，图中折线 $OABCD$ 表示 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系．

（1）活动中心与小宇家相距　　千米，小宇在活动中心活动时间为　　小时，他从活动中心返家时，步行用了　　小时；

（2）求线段 $BC$ 所表示的 $y$ （千米）与 $x$ （小时）之间的函数关系式（不必写出 $x$ 所表示的范围）；

（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在 $12 : 00$ 前回到家，并说明理由．

阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表．

组别	时间（小时）	频数（人数）	频率
$A$	$0 ⩽ t ⩽ 0.5$	6	0.15
$B$	$0.5 ⩽ t ⩽ 1$	$a$	0.3
$C$	$1 ⩽ t ⩽ 1.5$	10	0.25
$D$	$1.5 ⩽ t ⩽ 2$	8	$b$
$E$	$2 ⩽ t ⩽ 2.5$	4	0.1
合计			1

请根据图表中的信息，解答下列问题：

（1）表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　，中位数落在　　组，将频数分布直方图补全；

（2）估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足0.5小时的学生大约有多少名？

（3） $E$ 组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在 $E$ 组学生中随机选出两人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax - 3 a (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ．与 $y$ 轴交于点 $C$ ．连接 $AC$ ， $BC$ ．已知 $ΔABC$ 的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于 $x$ 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $P$ ， $Q$ 两点．过 $P$ ， $Q$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足分别为 $G$ ， $H$ ．若四边形 $PGHQ$ 为正方形，求正方形的边长；

（3）如图2，平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $N$ $(2, 0)$ ．点 $D$ 是抛物线上 $A$ ， $M$ 之间的一动点，且点 $D$ 不与 $A$ ， $M$ 重合，连接 $DB$ 交 $MN$ 于点 $E$ ．连接 $AD$ 并延长交 $MN$ 于点 $F$ ．在点 $D$ 运动过程中， $3 NE + NF$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．