如图1，Rt△ABC中，∠ACB90°，AC3，BC4，点O-优题课

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P，

当OA=时，求点O到BC的距离
如图2，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少？

若BC边与⊙O有公共点，直接写出 OA
的取值范围；
若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少？

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似多边形的性质

【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ $\sqrt{()}$ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．

【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘常数 $k$ ，再加上常数 $b$ ”的运算，有什么规律？

【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图 $a)$ ．

也可用图象描述：如图1，在 $x$ 轴上表示出 $x_{1}$ ，先在直线 $y = kx + b$ 上确定点 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ，再在直线 $y = x$ 上确定纵坐标为 $y_{1}$ 的点 $(x_{2}$ ， $y_{1})$ ，然后在 $x$ 轴上确定对应的数 $x_{2}$ ， $\dots$ ，以此类推．

【解决问题】研究输入实数 $x_{1}$ 时，随着运算次数 $n$ 的不断增加，运算结果 $x_{n}$ ，怎样变化．

（1）若 $k = 2$ ， $b = - 4$ ，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；

（2）若 $k > 1$ ，又得到什么结论？请说明理由；

（3）①若 $k = - \frac{2}{3}$ ， $b = 2$ ，已在 $x$ 轴上表示出 $x_{1}$ （如图2所示），请在 $x$ 轴上表示 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，并写出研究结论；

②若输入实数 $x_{1}$ 时，运算结果 $x_{n}$ 互不相等，且越来越接近常数 $m$ ，直接写出 $k$ 的取值范围及 $m$ 的值（用含 $k$ ， $b$ 的代数式表示）

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $ABCD$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C$ ，求 $∠ A$ 的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $DEBF$ ，使顶点 $E$ ， $F$ 分别落在边 $BE$ ， $BF$ 上的点 $A$ ， $C$ 处，折痕分别为 $DG$ ， $DH$ ．求证：四边形 $ABCD$ 是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $ABCD$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C$ ，若 $CB = CD = 4$ ，则当 $AD$ 的长为何值时， $AB$ 的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $AC$ 的长．

为了保护视力，学校开展了全校性的视力保健活动，活动前，随机抽取部分学生，检查他们的视力，结果如图所示（数据包括左端点不包括右端点，精确到 $0.1)$ ；活动后，再次检查这部分学生的视力，结果如表所示．

分组	频数
$4.0 ⩽ x < 4.2$	2
$4.2 ⩽ x < 4.4$	3
$4.4 ⩽ x < 4.6$	5
$4.6 ⩽ x < 4.8$	8
$4.8 ⩽ x < 5.0$	17
$5.0 ⩽ x < 5.2$	5

（1）求所抽取的学生人数；

（2）若视力达到4.8及以上为达标，估计活动前该校学生的视力达标率；

（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度分析活动前后相关数据，并评价视力保健活动的效果．

请用学过的方法研究一类新函数 $y = \frac{k}{x^{2}} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象和性质．

（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数 $y = \frac{6}{x^{2}}$ 的图象；

（2）对于函数 $y = \frac{k}{x^{2}}$ ，当自变量 $x$ 的值增大时，函数值 $y$ 怎样变化？

保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过 $30 cm$ ，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛 $B$ ，肘关节 $C$ 和笔端 $A$ 的位置关系抽象成图2的 $ΔABC$ ，已知 $BC = 30 cm$ ， $AC = 22 cm$ ， $∠ ACB = 53 °$ ，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6$ ， $\tan 53 ° \approx 1.3)$