计算：-优题课

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $BC = 3$ ，动点 $P$ 从 $B$ 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线 $BC$ 方向移动，作 $ΔPAB$ 关于直线 $PA$ 的对称 $ΔPAB'$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s)$ ．

（1）若 $AB = 2 \sqrt{3}$ ．

①如图2，当点 $B'$ 落在 $AC$ 上时，显然 $ΔPAB'$ 是直角三角形，求此时 $t$ 的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得 $ΔPCB'$ 是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $t$ 的值？若不存在，请说明理由．

（2）当 $P$ 点不与 $C$ 点重合时，若直线 $PB'$ 与直线 $CD$ 相交于点 $M$ ，且当 $t < 3$ 时存在某一时刻有结论 $∠ PAM = 45 °$ 成立，试探究：对于 $t > 3$ 的任意时刻，结论“ $∠ PAM = 45 °$ ”是否总是成立？请说明理由．

已知二次函数 $y = a x^{2} + bx - 4 (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $(A$ 在 $B$ 左侧，且 $OA < OB)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $C$ 点坐标，并判断 $b$ 的正负性；

（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线 $AC$ 相交于点 $D$ ，已知 $DC : CA = 1 : 2$ ，直线 $BD$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，连接 $BC$ ．

①若 $ΔBCE$ 的面积为8，求二次函数的解析式；

②若 $ΔBCD$ 为锐角三角形，请直接写出 $OA$ 的取值范围．

“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离 $y (km)$ 与出发时间 $t (h)$ 之间的函数关系式如图1中线段 $AB$ 所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离 $x (km)$ 与出发时间 $t (h)$ 之间的函数关系式如图2中折线段 $CD - DE - EF$ 所示．

（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？

（2）求点 $E$ 的坐标，并解释点 $E$ 的实际意义．

一次函数 $y = kx + b$ 的图象与 $x$ 轴的负半轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴的正半轴相交于点 $B$ ，且 $\sin ∠ ABO = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ． $ΔOAB$ 的外接圆的圆心 $M$ 的横坐标为 $- 3$ ．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积．

《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了 $10 %$ 的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．

各等级学生平均分统计表

等级	优秀	良好	及格	不及格
平均分	92.1	85.0	69.2	41.3

（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是　　；

（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；

（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．