已知抛物线经过点(0，5)和点(–1，0)，且对称轴为，求函-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线经过点 $D (- 2, - 3)$ 和点 $E (3, 2)$ ，点 $P$ 是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线 $DE$ 和抛物线的表达式；

（2）在 $y$ 轴上取点 $F (0, 1)$ ，连接 $PF$ ， $PB$ ，当四边形 $OBPF$ 的面积是7时，求点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点 $P$ 在抛物线对称轴的右侧时，直线 $DE$ 上存在两点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $N$ 的上方），且 $MN = 2 \sqrt{2}$ ，动点 $Q$ 从点 $P$ 出发，沿 $P \to M \to N \to A$ 的路线运动到终点 $A$ ，当点 $Q$ 的运动路程最短时，请直接写出此时点 $N$ 的坐标．

思维启迪：

（1）如图1， $A$ ， $B$ 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 $A$ ， $B$ 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 $B$ 点的点 $C$ ，连接 $BC$ ，取 $BC$ 的中点 $P$ （点 $P$ 可以直接到达 $A$ 点），利用工具过点 $C$ 作 $CD / / AB$ 交 $AP$ 的延长线于点 $D$ ，此时测得 $CD = 200$ 米，那么 $A$ ， $B$ 间的距离是　200　米．

思维探索：

（2）在 $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 中， $AC = BC$ ， $AE = DE$ ，且 $AE < AC$ ， $∠ ACB = ∠ AED = 90 °$ ，将 $ΔADE$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转，把点 $E$ 在 $AC$ 边上时 $ΔADE$ 的位置作为起始位置（此时点 $B$ 和点 $D$ 位于 $AC$ 的两侧），设旋转角为 $α$ ，连接 $BD$ ，点 $P$ 是线段 $BD$ 的中点，连接 $PC$ ， $PE$ ．

①如图2，当 $ΔADE$ 在起始位置时，猜想： $PC$ 与 $PE$ 的数量关系和位置关系分别是　　；

②如图3，当 $α = 90 °$ 时，点 $D$ 落在 $AB$ 边上，请判断 $PC$ 与 $PE$ 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

③当 $α = 150 °$ 时，若 $BC = 3$ ， $DE = 1$ ，请直接写出 $P C^{2}$ 的值．

在平面直角坐标系中，直线 $y = kx + 4 (k \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A (8, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ．

（1） $k$ 的值是　　；

（2）点 $C$ 是直线 $AB$ 上的一个动点，点 $D$ 和点 $E$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上．

①如图，点 $E$ 为线段 $OB$ 的中点，且四边形 $OCED$ 是平行四边形时，求 $▱ OCED$ 的周长；

②当 $CE$ 平行于 $x$ 轴， $CD$ 平行于 $y$ 轴时，连接 $DE$ ，若 $ΔCDE$ 的面积为 $\frac{33}{4}$ ，请直接写出点 $C$ 的坐标．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC$ 是 $⊙ O$ 的弦，直线 $MN$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $BD ⊥ MN$ 于点 $D$ ．

（1）求证： $∠ ABC = ∠ CBD$ ；

（2）若 $BC = 4 \sqrt{5}$ ， $CD = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径是　　．

2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．

（1）求甲种树苗每棵多少元？

（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？