知识改变命运，科技繁荣祖国．我区中小学每年都要举办一届科技比-优题课

课本再现

（1）在证明"三角形内角和定理"时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与 $∠ A$ 相等的角是　　；

类比迁移

（2）如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ABC$ 与 $∠ ADC$ 互余，小明发现四边形 $ABCD$ 中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作 $∠ CDF = ∠ ABC$ ，再过点 $C$ 作 $CE ⊥ DF$ 于点 $E$ ，连接 $AE$ ，发现 $AD$ ， $DE$ ， $AE$ 之间的数量关系是　　；

方法运用

（3）如图3，在四边形 $ABCD$ 中，连接 $AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $O$ 是 $ΔACD$ 两边垂直平分线的交点，连接 $OA$ ， $∠ OAC = ∠ ABC$ ．

①求证： $∠ ABC + ∠ ADC = 90 °$ ；

②连接 $BD$ ，如图4，已知 $AD = m$ ， $DC = n$ ， $\frac{AB}{AC} = 2$ ，求 $BD$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）．

二次函数 $y = x^{2} - 2 mx$ 的图象交 $x$ 轴于原点 $O$ 及点 $A$ ．

感知特例

（1）当 $m = 1$ 时，如图1，抛物线 $L : y = x^{2} - 2 x$ 上的点 $B$ ， $O$ ， $C$ ， $A$ ， $D$ 分别关于点 $A$ 中心对称的点为 $B'$ ， $O'$ ， $C'$ ， $A'$ ， $D'$ ，如表：

$\dots$	$B (- 1, 3)$	$O (0, 0)$	$C (1, - 1)$	$A ($ 　　，　　 $)$	$D (3, 3)$	$\dots$
$\dots$	$B^{'} (5, - 3)$	$O' (4, 0)$	$C^{'} (3, 1)$	$A' (2, 0)$	$D^{'} (1, - 3)$	$\dots$

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为 $L^{'}$ ．

形成概念

我们发现形如（1）中的图象 $L^{'}$ 上的点和抛物线 $L$ 上的点关于点 $A$ 中心对称，则称 $L^{'}$ 是 $L$ 的“孔像抛物线”．例如，当 $m = - 2$ 时，图2中的抛物线 $L^{'}$ 是抛物线 $L$ 的“孔像抛物线”．

探究问题

（2）①当 $m = - 1$ 时，若抛物线 $L$ 与它的“孔像抛物线” $L^{'}$ 的函数值都随着 $x$ 的增大而减小，则 $x$ 的取值范围为　　；

②在同一平面直角坐标系中，当 $m$ 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 $y = x^{2} - 2 mx$ 的所有“孔像抛物线” $L^{'}$ 都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是　　（填“ $y = a x^{2} + bx + c$ ”或“ $y = a x^{2} + bx$ ”或“ $y = a x^{2} + c$ ”或“ $y = a x^{2}$ ”，其中 $abc \neq 0)$ ；

③若二次函数 $y = x^{2} - 2 mx$ 及它的“孔像抛物线”与直线 $y = m$ 有且只有三个交点，求 $m$ 的值．

如图1，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $AD$ 为直径，点 $C$ 作 $CE ⊥ AB$ 于点 $E$ ，连接 $AC$ ．

（1）求证： $∠ CAD = ∠ ECB$ ；

（2）若 $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线， $∠ CAD = 30 °$ ，连接 $OC$ ，如图2．

①请判断四边形 $ABCO$ 的形状，并说明理由；

②当 $AB = 2$ 时，求 $AD$ ， $AC$ 与 $\hat{CD}$ 围成阴影部分的面积．

图1是疫情期间测温员用"额温枪"对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄 $BC$ 与手臂 $MC$ 始终在同一直线上，枪身 $BA$ 与额头保持垂直．量得胳膊 $MN = 28 cm$ ， $MB = 42 cm$ ，肘关节 $M$ 与枪身端点 $A$ 之间的水平宽度为 $25.3 cm$ （即 $MP$ 的长度），枪身 $BA = 8.5 cm$ ．

（1）求 $∠ ABC$ 的度数；

（2）测温时规定枪身端点 $A$ 与额头距离范围为 $3 ~ 5 cm$ ．在图2中，若测得 $∠ BMN = 68.6 °$ ，小红与测温员之间距离为 $50 cm$ ．问此时枪身端点 $A$ 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）

（参考数据： $\sin 66.4 ° \approx 0.92$ ， $\cos 66.4 ° \approx 0.40$ ， $\sin 23.6 ° \approx 0.40$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414)$

为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为 $75 g$ 的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位： $g)$ 如下：

甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；

乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77．

甲厂鸡腿质量频数统计表

质量 $x (g)$	频数	频率
$68 ⩽ x < 71$	2	0.1
$71 ⩽ x < 74$	3	0.15
$74 ⩽ x < 77$	10	$a$
$77 ⩽ x < 80$	5	0.25
合计	20	1

分析上述数据，得到下表：

统计量

厂家

平均数

中位数

众数

方差

甲厂

75

76

$b$

6.3

乙厂

75

77

6.6

请你根据图表中的信息完成下列问题：

（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；

（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位： $g)$ 在 $71 ⩽ x < 77$ 的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？