(本题6分)如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交-优题课

已知 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 是 $BC$ 延长线上一点， $AB = AD$ ， $AE$ 是 $⊙ O$ 的弦， $∠ AEC = 30 °$ ．

（1）求证：直线 $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AE ⊥ BC$ ，垂足为 $M$ ， $⊙ O$ 的半径为4，求 $AE$ 的长．

小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度 $AD$ ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头 $B$ ， $C$ 的俯角分别为 $∠ EAB = 60 °$ ， $∠ EAC = 30 °$ ，且 $D$ ， $B$ ， $C$ 在同一水平线上．已知桥 $BC = 30$ 米，求无人机飞行的高度 $AD$ ．（精确到0.01米．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买 $A$ 、 $B$ 两种奖品以鼓励抢答者．如果购买 $A$ 种20件， $B$ 种15件，共需380元；如果购买 $A$ 种15件， $B$ 种10件，共需280元．

（1） $A$ 、 $B$ 两种奖品每件各多少元？

（2）现要购买 $A$ 、 $B$ 两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么 $A$ 种奖品最多购买多少件？

6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“ $A$ 型”、“ $B$ 型”、“ $AB$ 型”、“ $O$ 型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：

血型	$A$	$B$	$AB$	$O$
人数		10	5

（1）这次随机抽取的献血者人数为　　人， $m =$ 　　；

（2）补全上表中的数据；

（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：

从献血者人群中任抽取一人，其血型是 $A$ 型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是 $A$ 型血？

如图，在 $▱ ABCD$ 中，作对角线 $BD$ 的垂直平分线 $EF$ ，垂足为 $O$ ，分别交 $AD$ ， $BC$ 于 $E$ ， $F$ ，连接 $BE$ ， $DF$ ．求证：四边形 $BFDE$ 是菱形．