（本小题满分8分）知识改变命运，科技繁荣祖国．我市中小学每年-优题课

题文

（本小题满分8分）“知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学每年都要举办一届科技运动会．下图为我市某校2011年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：

（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是人和人；
（2）该校参加航模比赛的总人数是人，空模所在扇形的圆心角的度数是 °，
并把条形统计图补充完整；
（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年我市中小学参加航模比赛人数共2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人?

科目数学题型计算题难度中等

知识点：统计量的选择

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解不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x}{2} ⩾ - 1 \\ 2 (1 - x) < 4 - 3 x . \end{matrix}$ ．

计算： $2^{3} \times (1 - \frac{1}{4}) \times 0.5$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，规定：抛物线 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的伴随直线为 $y = a (x - h) + k$ ．例如：抛物线 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ 的伴随直线为 $y = 2 (x + 1) - 3$ ，即 $y = 2 x - 1$ ．

（1）在上面规定下，抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 4$ 的顶点坐标为　　，伴随直线为　　，抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 4$ 与其伴随直线的交点坐标为　　和　　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 $y = m {(x - 1)}^{2} - 4 m$ 与其伴随直线相交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $x$ 轴交于点 $C$ ， $D$ ．

①若 $∠ CAB = 90 °$ ，求 $m$ 的值；

②如果点 $P (x, y)$ 是直线 $BC$ 上方抛物线上的一个动点， $ΔPBC$ 的面积记为 $S$ ，当 $S$ 取得最大值 $\frac{27}{4}$ 时，求 $m$ 的值．

为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有 $A$ ， $B$ 两种型号的健身器材可供选择．

（1）劲松公司2015年每套 $A$ 型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套 $A$ 型健身器材年平均下降率 $n$ ；

（2）2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司 $A$ ， $B$ 两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套 $A$ 型健身器材售价为1.6万元，每套 $B$ 型健身器材售价为 $1.5 (1 - n)$ 万元．

① $A$ 型健身器材最多可购买多少套？

②安装完成后，若每套 $A$ 型和 $B$ 型健身器材一年的养护费分别是购买价的 $5 %$ 和 $15 %$ ，市政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m + 4 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $3 x_{1} = | x_{2} | + 2$ ，求 $m$ 的值．

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