某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图(如右图).记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.
(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为,求
的分布列和数学期望;
(II)根据频率分布直方图填写下面列联表,并判断是否有95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关。
已知复数的实部为
,复数
的虚部为
,且
,
是实数,求复数
和
.
(本小题满分14分)已知函数,
,且函数
与
的图象至多有一个公共点。
(Ⅰ)证明:当时,
;
(Ⅱ)若不等式对题设条件中的
总成立,求
的最小值.
(本小题满分15分)已知数列中,
(实数
为常数),
,
是其前
项和,且
.数列
是等比数列,
,
恰为
与
的等比中项.
(Ⅰ)证明:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)若,当
时
,
的前
项和为
,求证:对任意
,都有
.
(本小题满分15分)已知椭圆C:的离心率为
,左、右焦点分别为
,点
在椭圆C上,且
,
的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线与椭圆
相交于
,
两点.点
,记直线
的斜率分别为
,当
最大时,求直线
的方程.
(本小题满分15分)已知四边形中,
,
为
中点,连接
,将
沿
翻折到
,使得二面角
的平面角的大小为
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)已知二面角的平面角的余弦值为
,求
的大小及
的长.