（本题8分）某人点燃一根长度为25cm的蜡烛，已知蜡烛每小时-优题课

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ACB = ∠ CAD = 90 °$ ，点 $E$ 在 $BC$ 上， $AE / / DC$ ， $EF ⊥ AB$ ，垂足为 $F$ ．

（1）求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形；

（2）若 $AE$ 平分 $∠ BAC$ ， $BE = 5$ ， $\cos B = \frac{4}{5}$ ，求 $BF$ 和 $AD$ 的长．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 mx + 3 m^{2} = 0$ ．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若 $m > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为2，求 $m$ 的值．

《淮南子 $?$ 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 $A$ 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 $B$ ，使 $B$ ， $A$ 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 $B$ 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 $B$ 处的杆的影子的方向取一点 $C$ ，使 $C$ ， $B$ 两点间的距离为10步，在点 $C$ 处立一根杆．取 $CA$ 的中点 $D$ ，那么直线 $DB$ 表示的方向为东西方向．

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 $CA$ 的中点 $D$ （保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线 $DB$ 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 $CA$ 表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在 $ΔABC$ 中， $BA =$ 　　， $D$ 是 $CA$ 的中点，

$∴ CA ⊥ DB ($ 　　 $)$ （填推理的依据）．

$∵$ 直线 $DB$ 表示的方向为东西方向，

$∴$ 直线 $CA$ 表示的方向为南北方向．

已知 $a^{2} + 2 b^{2} - 1 = 0$ ，求代数式 ${(a - b)}^{2} + b (2 a + b)$ 的值．

△ABC为等边三角形， $AB ＝ 8$ ， $AD ⊥ BC$ 于点D，E为线段 $AD$ 上一点， $AE ＝ 2 \sqrt{3}$ ．以AE为边在直线 $AD$ 右侧构造等边三角形 $AEF$ ，连接 $CE$ ，N为 $CE$ 的中点．

（1）如图1， $EF 与 AC$ 交于点G，连接 $NG$ ，求线段 $NG$ 的长；

（2）如图2，将 $△ AEF$ 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接 $DN$ ， $MN$ ．当 $30 ° ＜ α ＜ 120 °$ 时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；

（3）连接BN，在 $△ AEF$ 绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出 $△ ADN$ 的面积．