已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影-优题课

使用回旋加速器的实验需要把离子束从加速器中引出，离子束引出的方法有磁屏蔽通道法和静电偏转法等。质量为 $m$ ，速度为 $v$ 的离子在回旋加速器内旋转，旋转轨道时半径为 $r$ 的圆，圆心在 $O$ 点，轨道在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度为 $B$ 。为引出离子束，使用磁屏蔽通道法设计引出器。引出器原理如图所示，一堆圆弧形金属板组成弧形引出通道，通道的圆心位于 $O `$ 点（ $O `$ 点图中未画出）。引出离子时，令引出通道内磁场的磁感应强度降低，从而使离子从P点进入通道，沿通道中心线从 $Q$ 点射出。已知 $O Q$ 长度为 $L$ 。 $O Q$ 与 $O P$ 的夹角为 $θ$ ，

（1）求离子的电荷量 $q$ 并判断其正负；

（2）离子从 $P$ 点进入， $Q$ 点射出，通道内匀强磁场的磁感应强度应降为 $B `$ ，求 $B `$ ；

（3）换用静电偏转法引出离子束，维持通道内的原有磁感应强度 $B$ 不变，在内外金属板间加直流电压，两板间产生径向电场，忽略边缘效应。为使离子仍从 $P$ 点进入， $Q$ 点射出，求通道内引出轨迹处电场强度 $E$ 的方向和大小。

小明同学设计了一个"电磁天平"，如图1所示，等臂天平的左臂为挂盘，右臂挂有矩形线圈，两臂平衡。线圈的水平边长 $L = 0.1 m$ ，竖直边长 $H = 0.3 m$ ，匝数为。线圈的下边处于匀强磁场内，磁感应强度，方向垂直线圈平面向里。线圈中通有可在 $0 ~ 2.0 A$ 范围内调节的电流 $I$ 。挂盘放上待测物体后，调节线圈中电流使得天平平衡，测出电流即可测得物体的质量。（重力加速度取）

（1）为使电磁天平的量程达到 $0.5 k g$ ，线圈的匝数至少为多少。

（2）进一步探究电磁感应现象，另选匝、形状相同的线圈，总电阻，不接外电流，两臂平衡，如图2所示，保持不变，在线圈上部另加垂直纸面向外的匀强磁场，且磁感应强度 $B$ 随时间均匀变大，磁场区域宽度。当挂盘中放质量为 $0.01 k g$ 的物体时，天平平衡，求此时磁感应强度的变化率。

如图所示，用一块长 $L_{1} = 1.0 m$ 的木板在墙和桌面间架设斜面，桌面高 $H = 0.8 m$ ，长 $L = 1.5 m$ 。斜面与水平桌面的倾角 $θ$ 可在 $0 ~ 60 °$ 间调节后固定。将质量 $m = 0.2 k g$ 的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数 $u_{1} = 0.05$ ，物块与桌面间的动摩擦因数 $u_{2}$ ，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失。（重力加速度取 $g = 10 m / s^{2}$ ；最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

（1）求 $θ$ 角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；（用正切值表示）

（2）当 $θ$ 增大到 $37^{°}$ 时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数 $u_{2}$ ；（已知 $\sin 37^{°} = 0.6$ ， $\cos 37^{°} = 0.8$ ）

（3）继续增大 $θ$ 角，发现 $θ = 53 °$ 时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离 $x_{m}$ 。

$U$ 一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为 $+ q$ 、质量不同的离子飘入电压为 $U_{0}$ 的加速电场，其初速度几乎为零，这些离子经过加速后通过狭缝 $O$ 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场，最后打在底片上，已知放置底片区域已知放置底片的区域 $M N = L$ ，且 $O M = L$ 。某次测量发现 $M N$ 中左侧2/3区域 $M Q$ 损坏，检测不到离子，但右侧1/3区域 $Q N$ 仍能正常检测到离子. 在适当调节加速电压后，原本打在 $M Q$ 的离子即可在 $Q N$ 检测到.

（1）求原本打在 $M N$ 中点 $P$ 的离子质量 $m$ ；
（2）为使原本打在 $P$ 的离子能打在 $Q N$ 区域，求加速电压U的调节范围；
（3）为了在 $Q N$ 区域将原本打在 $M Q$ 区域的所有离子检测完整，求需要调节 $U$ 的最少次数。（取 $l g 2 = 0.301$ ； $l g 3 = 0.477, l g 5 = 0.699$ ）

一转动装置如图所示，四根轻杆 $O A$ 、 $O C$ 、 $A B$ 和 $C B$ 与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为 $m$ ， $O$ 端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在 $O$ 与小环之间，原长为 $L$ ，装置静止时，弹簧长为 $3 L / 2$ ，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为 $g$ ，求

（1）弹簧的劲度系数 $k$ ；

（2）AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度 $ω_{0}$ ；

（3）弹簧长度从 $3 L / 2$ 缓慢缩短为 $L / 2$ 的过程中，外界对转动装置所做的功 $W$ 。