计算：.-优题课

计算：

（1） ${(- 1)}^{2016} + π^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1} + \sqrt[3]{8}$

（2） $\frac{x^{2} - 1}{x + 1} \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - x}$ ．

如图1是一个用铁丝围成的篮筐，我们来仿制一个类似的柱体形篮筐．如图2，它是由一个半径为 $r$ 、圆心角 $90 °$ 的扇形 $A_{2} O B_{2}$ ，矩形 $A_{2} C_{2} EO$ 、 $B_{2} D_{2} EO$ ，及若干个缺一边的矩形状框 $A_{1} C_{1} D_{1} B_{1}$ 、 $A_{2} C_{2} D_{2} B_{2}$ 、 $\dots$ 、 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ， $OEFG$ 围成，其中 $A_{1}$ 、 $G$ 、 $B_{1}$ 在 $\hat{A_{2} B_{2}}$ 上， $A_{2}$ 、 $A_{3} \dots$ 、 $A_{n}$ 与 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ 、 $\dots B_{n}$ 分别在半径 $O A_{2}$ 和 $O B_{2}$ 上， $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 、 $\dots$ 、 $C_{n}$ 和 $D_{2}$ 、 $D_{3} \dots D_{n}$ 分别在 $E C_{2}$ 和 $E D_{2}$ 上， $EF ⊥ C_{2} D_{2}$ 于 $H_{2}$ ， $C_{1} D_{1} ⊥ EF$ 于 $H_{1}$ ， $F H_{1} = H_{1} H_{2} = d$ ， $C_{1} D_{1}$ 、 $C_{2} D_{2}$ 、 $C_{3} D_{3}$ 、 $C_{n} D_{n}$ 依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边 $C_{n} D_{n}$ 与点 $E$ 间的距离应不超过 $d)$ ， $A_{1} C_{1} / / A_{2} C_{2} / / A_{3} C_{3} / / \dots / / A_{n} C_{n}$

（1）求 $d$ 的值；

（2）问： $C_{n} D_{n}$ 与点 $E$ 间的距离能否等于 $d$ ？如果能，求出这样的 $n$ 的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？

如图，已知 $▱ ABCD$ 的三个顶点 $A (n, 0)$ 、 $B (m, 0)$ 、 $D (0$ ， $2 n) (m > n > 0)$ ，作 $▱ ABCD$ 关于直线 $AD$ 的对称图形 $A B_{1} C_{1} D$

（1）若 $m = 3$ ，试求四边形 $C C_{1} B_{1} B$ 面积 $S$ 的最大值；

（2）若点 $B_{1}$ 恰好落在 $y$ 轴上，试求 $\frac{n}{m}$ 的值．

已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 ax + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴的负半轴和正半轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，它的顶点为 $P$ ，直线 $CP$ 与过点 $B$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交于点 $D$ ，且 $CP : PD = 2 : 3$

（1）求 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

（2）若 $\tan ∠ PDB = \frac{5}{4}$ ，求这个二次函数的关系式．

某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可达100万元．由于该产品供不应求，公司计划于3月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额 $y$ （万元）与月份 $x$ （月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（5月及以后每月的销售额都相同），而经销成本 $p$ （万元）与销售额 $y$ （万元）之间函数关系的图象图2中线段 $AB$ 所示．

（1）求经销成本 $p$ （万元）与销售额 $y$ （万元）之间的函数关系式；

（2）分别求该公司3月，4月的利润；

（3）问：把3月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元？（利润 $=$ 销售额 $-$ 经销成本）