如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部-优题课

如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在 $A$ 处测得北偏东 $30 °$ 方向距离为40海里的 $B$ 处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东 $75 °$ 方向前往监视巡查，经过一段时间在 $C$ 处成功拦截可疑船只．

（1）求 $∠ ABC$ 的度数；

（2）求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即 $AC$ 长）？（结果精确到0.1海里， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449)$

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (3 k + 3) x + 2 k^{2} + 4 k + 2 = 0$

（1）求证：无论 $k$ 为何值，原方程都有实数根；

（2）若该方程的两实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 为一菱形的两条对角线之长，且 $x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = 36$ ，求 $k$ 值及该菱形的面积．

在大课间活动中，体育老师随机抽取了八年级甲、乙两个班部分女同学进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：

分　　组	频数	频率
第一组 $(0 ⩽ x < 15)$	3	0.15
第二组 $(15 ⩽ x < 30)$	$a$	0.3
第三组 $(30 ⩽ x < 45)$	7	0.35
第四组 $(45 ⩽ x < 60)$	4	$b$

（1）频数分布表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　，并将统计图补充完整；

（2）如果该校八年级共有女生180人，估计仰卧起坐一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人；

（3）已知第一组中只有一个甲班同学，第四组中只有一个乙班同学，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，用树状图或列表求所选两人正好都是甲班学生的概率．

先化简 $\frac{x^{2}}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{x - 2}$ ，再从 $- 3$ 、 $- 2$ 、0、2中选一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ ，其中 $2 a = b > 0 > c$ ，且 $a + b + c = 0$ ．

（1）直接写出关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0$ 的一个根；

（2）证明：抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的顶点 $A$ 在第三象限；

（3）直线 $y = x + m$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别相交于 $B$ ， $C$ 两点，与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 相交于 $A$ ， $D$ 两点．设抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的对称轴与 $x$ 轴相交于 $E$ ．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点 $F$ ，使得 $ΔADF$ 与 $ΔBOC$ 相似，并且 $S_{ΔADF} = \frac{1}{2} S_{ΔADE}$ ，求此时抛物线的表达式．