解不等式（组）或方程（1）解不等式；（2）解方程1．（3）解-优题课

如图，在 $▱ A B C D$ 中， $P$ 是线段 $B C$ 中点，联结 $B D$ 交 $A P$ 于点 $E$ ，联结 $C E$ ．

（1）如果 $A E ＝ C E$ ．

ⅰ．求证： $▱ A B C D$ 为菱形；

ⅱ．若 $A B ＝ 5 ， C E ＝ 3$ ，求线段 $B D$ 的长；

（2）分别以 $A E ， B E$ 为半径，点 $A ， B$ 为圆心作圆，两圆交于点 $E ， F$ ，点 $F$ 恰好在射线 $C E$ 上，如果 $C E = \sqrt{2} A E$ ，求 $\frac{AB}{BC}$ 的值．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 过点 $A （ ﹣ 2 ， ﹣ 1 ）， B （ 0 ， ﹣ 3 ）$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移抛物线，平移后的顶点为 $P （ m ， n ）（ m ＞ 0 ）$ ．

ⅰ．如果 $S_{△ O B P} ＝ 3$ ，设直线 $x ＝ k$ ，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；

ⅱ．点 $P$ 在原抛物线上，新抛物线交 $y$ 轴于点 $Q$ ，且 $∠ B P Q ＝ 120 °$ ，求点 $P$ 的坐标．

如图所示，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B ＝ A C$ ，点 $E ， F$ 在线段 $B C$ 上，点 $Q$ 在线段 $A B$ 上，且 $C F ＝ B E ， A E^{2} ＝ A Q • A B$ ．

求证：（1） $∠ C A E ＝ ∠ B A F$ ；

（2） $C F • F Q ＝ A F • B Q$ ．

我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆 $A B$ 的长．

（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆 $A B$ 底部 $a$ 米的点 $D$ 处，测角仪高为 $b$ 米，从 $C$ 点测得 $A$ 点的仰角为 $α$ ，求灯杆 $A B$ 的高度．（用含 $a ， b ， α$ 的代数式表示）

（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为 $2$ 米的木杆 $C G$ 放在灯杆 $A B$ 前，测得其影长 $C H$ 为 $1$ 米，再将木杆沿着 $B C$ 方向移动 $1.8$ 米至 $D E$ 的位置，此时测得其影长 $D F$ 为 $3$ 米，求灯杆 $A B$ 的高度．

一个一次函数的截距为 $﹣ 1$ ，且经过点 $A （ 2 ， 3 ）$ ．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）点 $A ， B$ 在某个反比例函数上，点 $B$ 横坐标为 $6$ ，将点 $B$ 向上平移 $2$ 个单位得到点 $C$ ，求 $\cos ∠ A B C$ 的值．