如图,已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐-优题课

如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）,抛物线的顶点为D.
求抛物线的解析式和顶点D的坐标
二次函数的图像上是否存在点P，使得S_△_PAB＝8S_△_ABD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
若抛物线的对称轴与x轴交于E点，点F在直线BC上，点M在的二次函数图像上，如果以点F、M、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请你求出符合条件的点M的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，过 $⊙ O$ 外一点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线 $PA$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ，连接 $PO$ 并延长，与 $⊙ O$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点， $M$ 是半圆 $CD$ 的中点，连接 $AM$ 交 $CD$ 于点 $N$ ，连接 $AC$ 、 $CM$ ．

（1）求证： $C M^{2} = MN \cdot MA$ ；

（2）若 $∠ P = 30 °$ ， $PC = 2$ ，求 $CM$ 的长．

如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于第二、四象限 $A$ 、 $B$ 两点，过点 $A$ 作 $AD ⊥ x$ 轴于 $D$ ， $AD = 4$ ， $\sin ∠ AOD = \frac{4}{5}$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(n, - 2)$ ．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2） $E$ 是 $y$ 轴上一点，且 $ΔAOE$ 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 $E$ 点坐标．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 的两实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $AD$ ， $BC$ 上的点，且 $DE = BF$ ， $AC ⊥ EF$ ．求证：四边形 $AECF$ 是菱形．

如图，对称轴为直线 $x = 1$ 的抛物线 $y = x^{2} - bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0) (x_{1} < x_{2})$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - \frac{2}{3}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线顶点为 $D$ ，直线 $BD$ 交 $y$ 轴于 $E$ 点；

①设点 $P$ 为线段 $BD$ 上一点（点 $P$ 不与 $B$ 、 $D$ 两点重合），过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线与抛物线交于点 $F$ ，求 $ΔBDF$ 面积的最大值；

②在线段 $BD$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $∠ BDC = ∠ QCE$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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