分解因式-优题课

已知抛物线 $y = - 2 x^{2} + bx + c$ 经过点 $(0, - 2)$ ，当 $x < - 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x > - 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．设 $r$ 是抛物线 $y = - 2 x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m = \frac{r^{9} + r^{7} - 2 r^{5} + r^{3} + r - 1}{r^{9} + 60 r^{5} - 1}$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）求证： $r^{4} - 2 r^{2} + 1 = 60 r^{2}$ ；

（3）以下结论： $m < 1$ ， $m = 1$ ， $m > 1$ ，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的点，连接 $AC$ 、 $BC$ ，点 $D$ 在 $BA$ 的延长线上，且 $∠ DCA = ∠ ABC$ ，点 $E$ 在 $DC$ 的延长线上，且 $BE ⊥ DC$ ．

（1）求证： $DC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\frac{OA}{OD} = \frac{2}{3}$ ， $BE = 3$ ，求 $DA$ 的长．

某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．

方案一：没有底薪，只付销售提成；

方案二：底薪加销售提成．

如图中的射线 $l_{1}$ ，射线 $l_{2}$ 分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资 $y_{1}$ （单位：元）和 $y_{2}$ （单位：元）与其当月鲜花销售量 $x$ （单位：千克） $(x ⩾ 0)$ 的函数关系．

（1）分别求 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 与 $x$ 的函数解析式（解析式也称表达式）；

（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

如图，四边形 $ABCD$ 是矩形， $E$ 、 $F$ 分别是线段 $AD$ 、 $BC$ 上的点，点 $O$ 是 $EF$ 与 $BD$ 的交点．若将 $ΔBED$ 沿直线 $BD$ 折叠，则点 $E$ 与点 $F$ 重合．

（1）求证：四边形 $BEDF$ 是菱形；

（2）若 $ED = 2 AE$ ， $AB \cdot AD = 3 \sqrt{3}$ ，求 $EF \cdot BD$ 的值．

为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，1名男生，记为 $y_{1}$ ；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为 $x_{3}$ ，2名男生，分别记为 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ ．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．

（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；

（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率 $P$ ．