如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB-优题课

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

求证：PC是⊙O的切线；
求证：BC=AB
点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

甲、乙两车分别从 $A$ ， $B$ 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到 $B$ 地，乙车立即以原速原路返回到 $B$ 地．甲、乙两车距 $B$ 地的路程 $y (km)$ 与各自行驶的时间 $x (h)$ 之间的关系如图所示．

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）求乙车距 $B$ 地的路程 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）当甲车到达 $B$ 地时，求乙车距 $B$ 地的路程．

某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．

（1）该机构设计了以下三种调查方案：

方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；

方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；

方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．

其中最具有代表性的一个方案是　　；

（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：

①这次接受调查的居民人数为　　人；

②统计图中人数最多的选项为　　；

③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．

墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座 $A$ 与地面的距离 $AB$ 为 $170 cm$ ，花洒 $AC$ 的长为 $30 cm$ ，与墙壁的夹角 $∠ CAD$ 为 $43 °$ ．求花洒顶端 $C$ 到地面的距离 $CE$ （结果精确到 $1 cm)$ ．（参考数据： $\sin 43 ° = 0.68$ ， $\cos 43 ° = 0.73$ ， $\tan 43 ° = 0.93)$

问题解决

糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？

反思归纳

现有 $a$ 根竹签， $b$ 个山楂．若每根竹签串 $c$ 个山楂，还剩余 $d$ 个山楂，则下列等式成立的是　　（填写序号）．

（1） $bc + d = a$ ；（2） $ac + d = b$ ；（3） $ac - d = b$ ．

图①，图②均为 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段 $AB$ ，在图②中已画出线段 $CD$ ，其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 均为格点，按下列要求画图：

（1）在图①中，以 $AB$ 为对角线画一个菱形 $AEBF$ ，且 $E$ ， $F$ 为格点；

（2）在图②中，以 $CD$ 为对角线画一个对边不相等的四边形 $CGDH$ ，且 $G$ ， $H$ 为格点， $∠ CGD = ∠ CHD = 90 °$ ．