先化简，再求值：，其中.-优题课

“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图．

频数分布统计表

组别	成绩 $x$ （分）	人数	百分比
$A$	$60 ⩽ x < 70$	8	$20 %$
$B$	$70 ⩽ x < 80$	16	$m %$
$C$	$80 ⩽ x < 90$	$a$	$30 %$
$D$	$90 ⩽ x ⩽ 100$	4	$10 %$

请观察图表，解答下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　， $m =$ 　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3） $D$ 组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为　　．

为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道 $AB$ 由西向东行驶．在 $A$ 处测得岸边一建筑物 $P$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，继续行驶40秒到达 $B$ 处时，测得建筑物 $P$ 在北偏西 $60 °$ 方向上，如图所示，求建筑物 $P$ 到赛道 $AB$ 的距离（结果保留根号）．

先化简，再求值： $(x + y) (x - y) + y (x + 2 y) - {(x - y)}^{2}$ ，其中 $x = 2 + \sqrt{3}$ ， $y = 2 - \sqrt{3}$ ．

如图，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．抛物线 $y = - \frac{3}{8} x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是第一象限抛物线上的点，连接 $OP$ 交直线 $AB$ 于点 $Q$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ， $PQ$ 与 $OQ$ 的比值为 $y$ ，求 $y$ 与 $m$ 的函数关系式，并求出 $PQ$ 与 $OQ$ 的比值的最大值；

（3）点 $D$ 是抛物线对称轴上的一动点，连接 $OD$ 、 $CD$ ，设 $ΔODC$ 外接圆的圆心为 $M$ ，当 $\sin ∠ ODC$ 的值最大时，求点 $M$ 的坐标．

为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

	甲种客车	乙种客车
载客量 $/$ （人 $/$ 辆）	30	42
租金 $/$ （元 $/$ 辆）	300	400

学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．

（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？

（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　　辆；

（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．