某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析，绘-优题课

某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析，绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：

分组	49.5～59.5	59.5～69.5	69.5～79.5	79.5～89.5	89.5～100.5	合计
频数	2	a	20	16	4	50
频率	0.04	0.16	0.40	0.32	b	1

（1）频数、频率统计表中，a=　　；b=　　；
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于80分的概率是多少？

科目数学题型解答题难度中等

在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．

（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？

（2）该店在“五 $\cdot$ 四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？

某校计划开设美术、书法、体育、音乐兴趣班，为了解学生报名的意向，随机调查了部分学生，要求被调查的学生必选且只选一项，根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表：

兴趣班	人数	百分比
美术	10	$10 %$
书法	30	$a$
体育	$b$	$40 %$
音乐	20	$c$

根据统计图表的信息，解答下列问题：

（1）直接写出本次调查的样本容量和表中 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

（2）将折线图补充完整；

（3）该校现有2000名学生，估计该校参加音乐兴趣班的学生有多少人？

如图，在河对岸有一棵大树 $A$ ，在河岸 $B$ 点测得 $A$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，向东前进 $120 m$ 到达 $C$ 点，测得 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，求河的宽度（精确到 $0.1 m)$ ．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上．

（1）尺规作图：作 $∠ BAC$ 的平分线，与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ；连接 $OD$ ，交 $BC$ 于点 $E$ （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；

（2）探究 $OE$ 与 $AC$ 的位置及数量关系，并证明你的结论．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2, 0)$ 和 $B (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）作射线 $AC$ ，将射线 $AC$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 交抛物线于另一点 $D$ ，在射线 $AD$ 上是否存在一点 $H$ ，使 $ΔCHB$ 的周长最小．若存在，求出点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，点 $Q$ 为抛物线的顶点，点 $P$ 为射线 $AD$ 上的一个动点，且点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，垂足为 $E$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $AD$ 方向运动，直线 $l$ 随之运动，当 $- 2 < t < 1$ 时，直线 $l$ 将四边形 $ABCQ$ 分割成左右两部分，设在直线 $l$ 左侧部分的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $t$ 的函数表达式．