化简：.-优题课

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，且 $AO = CO$ ，点 $E$ 在 $BD$ 上，满足 $∠ EAO = ∠ DCO$ ．

（1）求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形；

（2）若 $AB = BC$ ， $CD = 5$ ， $AC = 8$ ，求四边形 $AECD$ 的面积．

为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买 $A$ 种花卉与用900元购买 $B$ 种花卉的数量相等，且 $B$ 种花卉每盆比 $A$ 种花卉多0.5元．

（1） $A$ ， $B$ 两种花卉每盆各多少元？

（2）计划购买 $A$ ， $B$ 两种花卉共6000盆，其中 $A$ 种花卉的数量不超过 $B$ 种花卉数量的 $\frac{1}{3}$ ，求购买 $A$ 种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？

为扎实推进“五育并举”工作，某校根据课外活动时间，开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：

请根据以上的信息，回答下列问题：

（1）抽取的学生有　　人， $n =$ 　　， $a =$ 　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校有学生3200人，估计参加书法社团活动的学生人数．

先化简，再求值： $\frac{2 a + 1}{a + 1} + \frac{a^{2} - 2 a}{a^{2} - 1} \div (\frac{2 a - 1}{a - 1} - a - 1)$ ，其中 $a = - \frac{3}{2}$ ．

如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ，过点 $A$ 的抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴的另一交点为 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D (0, 3)$ ，抛物线的对称轴 $l$ 交 $AD$ 于点 $E$ ，连接 $OE$ 交 $AB$ 于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $OE ⊥ AB$ ；

（3） $P$ 为抛物线上的一动点，直线 $PO$ 交 $AD$ 于点 $M$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使以 $A$ ， $O$ ， $M$ 为顶点的三角形与 $ΔACD$ 相似？若存在，求点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．