已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m

题文

已知关于x的方程x²－（m＋2）x＋（2m－1）=0。
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

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如图，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $OC$ 上一点，连接 $EB$ ．过点 $A$ 作 $AM ⊥ BE$ ，垂足为 $M$ ， $AM$ 与 $BD$ 相交于点 $F$ ．求证： $OE = OF$ ．

先化简，再求值： ${(a + 3)}^{2} - (a + 1) (a - 1) - 2 (2 a + 4)$ ，其中 $a = - \frac{1}{2}$ ．

计算： $\tan 45 ° + {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + | \sqrt{3} - 2 |$ ．

如图，已知抛物线 $y = a (x + 2) (x - 6)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且 $\tan ∠ CAB = \frac{3}{2}$ ．设抛物线的顶点为 $M$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $N$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为抛物线的对称轴上一点， $Q (n, 0)$ 为 $x$ 轴上一点，且 $PQ ⊥ PC$ ．

①当点 $P$ 在线段 $MN$ （含端点）上运动时，求 $n$ 的变化范围；

②在①的条件下，当 $n$ 取最大值时，求点 $P$ 到线段 $CQ$ 的距离；

③在①的条件下，当 $n$ 取最大值时，将线段 $CQ$ 向上平移 $t$ 个单位长度，使得线段 $CQ$ 与抛物线有两个交点，求 $t$ 的取值范围．

在 $ΔABC$ 中，已知 $D$ 是 $BC$ 边的中点， $G$ 是 $ΔABC$ 的重心，过 $G$ 点的直线分别交 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）如图1，当 $EF / / BC$ 时，求证： $\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1$ ；

（2）如图2，当 $EF$ 和 $BC$ 不平行，且点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $AB$ 、 $AC$ 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上或点 $F$ 在 $AC$ 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．