计算：-优题课

如图，正方形 $ABCD$ 的边长为1，点 $P$ 在射线 $BC$ 上（异于点 $B$ 、 $C)$ ，直线 $AP$ 与对角线 $BD$ 及射线 $DC$ 分别交于点 $F$ 、 $Q$

（1）若 $BP = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $∠ BAP$ 的度数；

（2）若点 $P$ 在线段 $BC$ 上，过点 $F$ 作 $FG ⊥ CD$ ，垂足为 $G$ ，当 $ΔFGC ≅ ΔQCP$ 时，求 $PC$ 的长；

（3）以 $PQ$ 为直径作 $⊙ M$ ．

①判断 $FC$ 和 $⊙ M$ 的位置关系，并说明理由；

②当直线 $BD$ 与 $⊙ M$ 相切时，直接写出 $PC$ 的长．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = x$ 与二次函数 $y = x^{2} + bx$ 的图象相交于 $O$ 、 $A$ 两点，点 $A (3, 3)$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）长度为 $2 \sqrt{2}$ 的线段 $PQ$ 在线段 $OA$ （不包括端点）上滑动，分别过点 $P$ 、 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $P_{1}$ 、 $Q_{1}$ ，求四边形 $PQ Q_{1} P_{1}$ 面积的最大值；

（3）直线 $OA$ 上是否存在点 $E$ ，使得点 $E$ 关于直线 $MA$ 的对称点 $F$ 满足 $S_{ΔAOF} = S_{ΔAOM}$ ？若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．

（1）求甲、乙两种糖果的价格；

（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？

解方程和不等式组：

（1） $\frac{x}{2 x - 5} + \frac{5}{5 - 2 x} = 1$

（2） $\{\begin{matrix} 5 x - 10 ⩽ 0 \\ x + 3 > - 2 x \end{matrix}$ ．

先化简，再求值 $(x - 1) (x - 2) - {(x + 1)}^{2}$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ．