解方程：-优题课

如图示一架水平飞行的无人机 $AB$ 的尾端点 $A$ 测得正前方的桥的左端点 $P$ 的

俯角为 $α$ 其中 $\tan α = 2 \sqrt{3}$ ，无人机的飞行高度 $AH$ 为 $500 \sqrt{3}$ 米，桥的长度为1255米．

①求点 $H$ 到桥左端点 $P$ 的距离；

②若无人机前端点 $B$ 测得正前方的桥的右端点 $Q$ 的俯角为 $30 °$ ，求这架无人机的长度 $AB$ ．

如图示，正方形 $ABCD$ 的顶点 $A$ 在等腰直角三角形 $DEF$ 的斜边 $EF$ 上， $EF$ 与 $BC$ 相交于点 $G$ ，连接 $CF$ ．

①求证： $ΔDAE ≅ ΔDCF$ ；

②求证： $ΔABG ∽ ΔCFG$ ．

某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行 $3 \times 3$ 阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是 $3 \times 3$ 阶魔方赛 $A$ 区域30名爱好者完成时间统计图，求：

① $A$ 区域 $3 \times 3$ 阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表示）．

②若 $3 \times 3$ 阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据 $A$ 区域的统计结果估计在 $3 \times 3$ 阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数．

③若 $3 \times 3$ 阶魔方赛 $A$ 区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）．

如图，抛物线 $y = m x^{2} - 16 mx + 48 m (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 $OD$ 、 $BD$ 、 $AC$ 、 $AD$ ，延长 $AD$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ．

（1）若 $ΔOAC$ 为等腰直角三角形，求 $m$ 的值；

（2）若对任意 $m > 0$ ， $C$ 、 $E$ 两点总关于原点对称，求点 $D$ 的坐标（用含 $m$ 的式子表示）；

（3）当点 $D$ 运动到某一位置时，恰好使得 $∠ ODB = ∠ OAD$ ，且点 $D$ 为线段 $AE$ 的中点，此时对于该抛物线上任意一点 $P (x_{0}$ ， $y_{0})$ 总有 $n + \frac{1}{6} ⩾ - 4 \sqrt{3} m y_{0}^{2} - 12 \sqrt{3} y_{0} - 50$ 成立，求实数 $n$ 的最小值．

若三个非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

（2）若 $M (t, y_{1})$ ， $N (t + 1, y_{2})$ ， $R (t + 3, y_{3})$ 三点均在函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象上，且这三点的纵坐标 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 构成“和谐三组数”，求实数 $t$ 的值；

（3）若直线 $y = 2 bx + 2 c (bc \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1}$ ， $0)$ ，与抛物线 $y = a x^{2} + 3 bx + 3 c (a \neq 0)$ 交于 $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ ， $C (x_{3}$ ， $y_{3})$ 两点．

①求证： $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的横坐标 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 构成“和谐三组数”；

②若 $a > 2 b > 3 c$ ， $x_{2} = 1$ ，求点 $P (\frac{c}{a}$ ， $\frac{b}{a})$ 与原点 $O$ 的距离 $OP$ 的取值范围．