已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段-优题课

设 $a \in R$ ，直线 $ax - y + 2 = 0$ 和圆 $\{\begin{matrix} x = 2 + 2 \cos θ, \\ y = 1 + 2 \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）相切，则 $a$ 的值为_____________．

已知四棱锥的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$ ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．

${(2 x - \frac{1}{8 x^{3}})}^{8}$ 的展开式中的常数项为_____________．

$i$ 是虚数单位，则 $|\frac{5 - i}{1 + i}|$ 的值为_____________．

李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付 $x$ 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当 $x = 10$ 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 $x$ 的最大值为__________．