化简：÷-优题课

如图，抛物线的顶点为 $A (h, - 1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, - \frac{1}{2})$ ，点 $F (2, 1)$ 为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线 $l$ 是过点 $C (0, - 3)$ 且垂直于 $y$ 轴的定直线，若抛物线上的任意一点 $P (m, n)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求证： $PF = d$ ；

（3）已知坐标平面内的点 $D (4, 3)$ ，请在抛物线上找一点 $Q$ ，使 $ΔDFQ$ 的周长最小，并求此时 $ΔDFQ$ 周长的最小值及点 $Q$ 的坐标．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AM$ 和 $BN$ 是它的两条切线，过 $⊙ O$ 上一点 $E$ 作直线 $DC$ ，分别交 $AM$ 、 $BN$ 于点 $D$ 、 $C$ ，且 $DA = DE$ ．

（1）求证：直线 $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $O A^{2} = DE \cdot CE$ ．

某水果商店销售一种进价为40元 $/$ 千克的优质水果，若售价为50元 $/$ 千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元 $/$ 千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

（1）当售价为55元 $/$ 千克时，每月销售水果多少千克？

（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？

（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

如图，过 $▱ ABCD$ 对角线 $AC$ 与 $BD$ 的交点 $E$ 作两条互相垂直的直线，分别交边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ 于点 $P$ 、 $M$ 、 $Q$ 、 $N$ ．

（1）求证： $ΔPBE ≅ ΔQDE$ ；

（2）顺次连接点 $P$ 、 $M$ 、 $Q$ 、 $N$ ，求证：四边形 $PMQN$ 是菱形．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x - 1$ 与直线 $y = - 2 x + 2$ 相交于点 $P$ ，并分别与 $x$ 轴相交于点 $A$ 、 $B$ ．

（1）求交点 $P$ 的坐标；

（2）求 $ΔPAB$ 的面积；

（3）请把图象中直线 $y = - 2 x + 2$ 在直线 $y = - \frac{1}{2} x - 1$ 上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量 $x$ 的取值范围．