解方程:5–2x＝x＋8-优题课

如图，一次函数 $y = kx + b (k$ 、 $b$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，且与反比例函数 $y = \frac{n}{x} (n$ 为常数，且 $n \neq 0)$ 的图象在第二象限交于点 $C$ ． $CD ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，若 $OB = 2 OA = 3 OD = 12$ ．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）记两函数图象的另一个交点为 $E$ ，求 $ΔCDE$ 的面积；

（3）直接写出不等式 $kx + b ⩽ \frac{n}{x}$ 的解集．

如图，在 $4 \times 4$ 的方格纸中， $ΔABC$ 的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中，画出一个与 $ΔABC$ 成中心对称的格点三角形；

（2）在图2中，画出一个与 $ΔABC$ 成轴对称且与 $ΔABC$ 有公共边的格点三角形；

（3）在图3中，画出 $ΔABC$ 绕着点 $C$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 后的三角形．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 4, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，过点 $B$ 的直线 $y = kx + \frac{2}{3}$ 分别与 $y$ 轴及抛物线交于点 $C$ ， $D$ ．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点 $P$ 从点 $O$ 出发，在 $x$ 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时， $ΔPDC$ 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 $t$ 的值；

（3）如图2，将直线 $BD$ 沿 $y$ 轴向下平移4个单位后，与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $E$ ， $F$ 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$ ，在直线 $EF$ 上是否存在点 $N$ ，使 $DM + MN$ 的值最小？若存在，求出其最小值及点 $M$ ， $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点 $P$ 是正方形 $ABCD$ 内一点， $PA = 1$ ， $PB = 2$ ， $PC = 3$ ．你能求出 $∠ APB$ 的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将 $ΔBPC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到△ $BP' A$ ，连接 $PP'$ ，求出 $∠ APB$ 的度数；

思路二：将 $ΔAPB$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到△ $C P^{'} B$ ，连接 $PP'$ ，求出 $∠ APB$ 的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

【类比探究】

如图2，若点 $P$ 是正方形 $ABCD$ 外一点， $PA = 3$ ， $PB = 1$ ， $PC = \sqrt{11}$ ，求 $∠ APB$ 的度数．

如图，已知 $D$ ， $E$ 分别为 $ΔABC$ 的边 $AB$ ， $BC$ 上两点，点 $A$ ， $C$ ， $E$ 在 $⊙ D$ 上，点 $B$ ， $D$ 在 $⊙ E$ 上． $F$ 为 $\hat{BD}$ 上一点，连接 $FE$ 并延长交 $AC$ 的延长线于点 $N$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ．

（1）若 $∠ EBD$ 为 $α$ ，请将 $∠ CAD$ 用含 $α$ 的代数式表示；

（2）若 $EM = MB$ ，请说明当 $∠ CAD$ 为多少度时，直线 $EF$ 为 $⊙ D$ 的切线；

（3）在（2）的条件下，若 $AD = \sqrt{3}$ ，求 $\frac{MN}{MF}$ 的值．