先化简，再求值：，其中．-优题课

阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 $P$ 、 $Q$ 的坐标分别是 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ 、

$Q (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，则 $P$ 、 $Q$ 这两点间的距离为 $| PQ | = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ．如 $P (1, 2)$ ， $Q (3, 4)$ ，则 $| PQ | = \sqrt{{(1 - 3)}^{2} + {(2 - 4)}^{2}} = 2 \sqrt{2}$ ．

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $y = kx + \frac{1}{2}$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $B$ ，过点 $B$ 作直线 $l$ 平行于 $x$ 轴．

（1）到点 $A$ 的距离等于线段 $AB$ 长度的点的轨迹是　　；

（2）若动点 $C (x, y)$ 满足到直线 $l$ 的距离等于线段 $CA$ 的长度，求动点 $C$ 轨迹的函数表达式；

问题拓展：（3）若（2）中的动点 $C$ 的轨迹与直线 $y = kx + \frac{1}{2}$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，分别过 $E$ 、 $F$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别是 $M$ 、 $N$ ，求证：

① $EF$ 是 $ΔAMN$ 外接圆的切线；

② $\frac{1}{AE} + \frac{1}{AF}$ 为定值．

为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过 $18 m$ ，另外三边由 $36 m$ 长的栅栏围成．设矩形 $ABCD$ 空地中，垂直于墙的边 $AB = xm$ ，面积为 $y m^{2}$ （如图）．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）若矩形空地的面积为 $160 m^{2}$ ，求 $x$ 的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

	甲	乙	丙
单价（元 $/$ 棵）	14	16	28
合理用地（ $m^{2} /$ 棵）	0.4	1	0.4

问题：已知 $α$ 、 $β$ 均为锐角， $\tan α = \frac{1}{2}$ ， $\tan β = \frac{1}{3}$ ，求 $α + β$ 的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 $1)$ ，请借助这个网格图求出 $α + β$ 的度数；

延伸：（2）设经过图中 $M$ 、 $P$ 、 $H$ 三点的圆弧与 $AH$ 交于 $R$ ，求 $\hat{MR}$ 的弧长．

探究函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 与 $y = x + \frac{a}{x} (x > 0, a > 0)$ 的相关性质．

（1）小聪同学对函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 进行了如下列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图象可得它的最小值为　　，它的另一条性质为　　；

$x$	$\dots$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{17}{4}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{5}{2}$	2	$\frac{13}{6}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{29}{10}$	$\frac{10}{3}$	$\dots$

（2）请用配方法求函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值；

（3）猜想函数 $y = x + \frac{a}{x} (x > 0, a > 0)$ 的最小值为　　．

为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：

班级	平均分	中位数	众数	方差
八（1）	85	$b$	$c$	22.8
八（2）	$a$	85	85	19.2

（1）直接写出表中 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

（2）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．