化简：22-优题课

为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为 $A ， B ， C ， D$ 四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．

等级	成绩（ $x$ ）	人数
A	$90 ＜ x \leq 100$	$m$
B	$80 ＜ x \leq 90$	$24$
C	70＜x≤80	$14$
D	$x \leq 70$	$10$

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中 $m ＝$ ＿＿＿＿＿；扇形统计图中， $B$ 等级所占百分比是＿＿＿＿＿， $C$ 等级对应的扇形圆心角为＿＿＿＿＿度；

（2）若全校有 $1400$ 人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为 $A$ 等级的共有＿＿＿＿＿人；

（3）若全校成绩为 $100$ 分的学生有甲、乙、丙、丁 $4$ 人，学校将从这 $4$ 人中随机选出 $2$ 人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有 $1$ 人被选中的概率．

先化简，再求值： $(\frac{a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a + b})$ $\div \frac{b}{a^{2} - 2 ab + b^{2}}$ ，其中 $a ＝（ \frac{1}{3} ）^{﹣ 1}$ ， $b ＝（ ﹣ 2022 ）^{0}$ ．

已知方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 3 ① \\ x - y = 1 ② \end{matrix}$ 的解满足 $2 k x ﹣ 3 y ＜ 5$ ，求 $k$ 的取值范围．

抛物线 $y ＝ x^{2} ﹣ 2 x ﹣ 3$ 交 $x$ 轴于 $A ， B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边）， $C$ 是第一象限抛物线上一点，直线 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ．

（1）直接写出 $A ， B$ 两点的坐标；

（2）如图（1），当 $O P ＝ O A$ 时，在抛物线上存在点 $D$ （异于点 $B$ ），使 $B ， D$ 两点到 $A C$ 的距离相等，求出所有满足条件的点 $D$ 的横坐标；

（3）如图（2），直线 $B P$ 交抛物线于另一点 $E$ ，连接 $C E$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，点 $C$ 的横坐标为 $m$ ．求 $\frac{FP}{OP}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

【问题提出】

如图（1），在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E ＝ D B$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，探究 $\frac{AF}{AB}$ 的值．

【问题探究】

（1）先将问题特殊化．如图（2），当 $∠ B A C ＝ 60 °$ 时，直接写出 $\frac{AF}{AB}$ 的值；

（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．

【问题拓展】

如图（3），在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $G$ 是边 $B C$ 上一点， $\frac{CG}{BC} = \frac{1}{n} （ n ＜ 2 ）$ ，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E ＝ D G$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．直接写出 $\frac{AF}{AB}$ 的值（用含 $n$ 的式子表示）．